Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

a
b
x
tenglama  ildizlarini  topish
uchun
a
c
a
b
a
b
x










2
2
2
yoki
a
ac
b
b
x
2
4
2




formula  bilan  ifodalanuvchi  qoida
beradi.va  so’ngra  bu  foidaning  geometrik  isbotini  ko’rsatadi.  Uning geometrik  isbotlari  sonli
misollar bilan umumiy xarakterga ega bo’lgan isbotlardir.
Xorazmiyning  tenglama  echish  usullaridan  namunalar  keltiramiz.  Masalan,  V
ko’rinishdagi tenglamalardan shunday misolni ko’raylik. Kvadrat va yigirma bir dirham o’n ildizga
teng; u hozirgi belgilashlarda quyidagicha: x
2
+21=10x            (3.1)
N
L
K
F

---

81
Xorazmiy  qoidasi  bo’yicha  bu  tenglamani  echish  usulini  hozirgi  belgilashlarda  ham
bajarsak, (misolda a=1, B=10, C=21);   Echish: Hozirgi belgilashlarda:
1) Ildiz sanog’ini yarimlat, bu 5 bo’ladi;
5
2
10
2


b
2) Yarimlangan 
ildiz 
sanog’ini 
o’z-o’ziga 
ko’paytir
–
bu 
25 
bo’ladi;
25
5
5
2
2
2
2











b
b
b
;
3) Yarimlangan  ildiz    sanog’ining  kvadratidan  yigirma  birni  ayir,  bunda  4  qoladi;
4
21
2
10
2
5
2
















c
b
4) To’rtni kvadrat ildizdan chiqarsang 2 bo’ladi;
2
4
21
2
10
2
2

















c
b
5) Yarimlangan 
ildiz 
sanog’idan 
2 
ni 
ayirsang 
3 
bo’ladi;
3
2
5
2
10
2
10
2
2
2
2




















c
c
b
b
6) Agar 
xohlasang 
yarim 
ildiz 
sanog’iga 
2 
ni 
qo’shsang 
7 
bo’ladi;
7
2
5
21
2
10
2
10
2
2
2
2




















c
b
b
Oxirida 
har 
ikkalasi 
izlangan 
ildiz 
bo’ladi, 
ya’ni
2
5
21
2
10
2
10
2
2
2
2
2
1




















c
b
b
x
,   x
1
=3,   x
2
=7
Agar
2
2






b
>c  bo’lganda  V  ko’rinishdagi  kvadrat  tenglamalarning  hamma  vaqt  ikkita
musbat ildizi birligini e’tiborga olib Xorazmiy – bu ko’rinishdagi tenglamalarning ildizlarini topish
uchun  yarim  ildiz  sanog’iga  ildizdan  chiqqan  sonni  qo’shish  va  ayirish  amalini  ishlatish  zarur,
deydi. Agar
2
2






b
mumkin emas” va agar
2
2






b
=c  bo’lsa tenglamaning ildizi, ildiz sanog’ining yarmiga teng deydi.
IV  va  VI  tur  tenglamalarining  har  birining  birgina  musbat  ildizi  borligini  nazarda  tutib,  bu
ko’rinishdagi tenglamalarda faqat birgina ildiz bor, deb uqtiradi.
Xorazmiy  yuqorida  ko’rsatilgan  (3.1)  tenglamani  echish  qoidasining  to’g’ri  ekanligini
geometrik  metod  bilan  VI  bobda  isbot  qiladi.  Uning  isbotini  hozirgi  simvollar  bilan  ko’rsatilsa
quyidagicha bo’ladi. Uzunligi ildiz sanog’i 10 ga teng ND kesmaga tomoni noma’lum  X bo’lgan
kvadrat AD ni yasaydi.      (9-shakl)
b  x

---

82
9-shakl.
5
Kesmaning
qolgan 
qismini 
bir
tomoni AB ga teng to’g’ri to’rtburchak EB ga to’ldiradi; ED to’g’ri to’rtburchakning yuzi S
ED
=10x
va S
AD
= x
2
(3.2) bo’ladi. (3.1) tenglama va (2) tenglikni e’tiborga olganda, to’g’ri to’rtburchak EB
ning yuzi S
EB
= 21 bo’lishi kerak.
Berilgan kesma ND o’rtasidan FK perpendikulyar chiqarib, uning davomiga tomoni (5-x)
bo’lgan  kvadrat  LH  yasaladi.  Qolgan  qismiga  MQ  to’g’ri  to’rtburchakni  joylashtirish  natijasida
tomoni 5 va yuzi S
MF
= 25 (3.3) ga teng bo’lgan MF katta kvadrat hosil bo’ladi. Shakldagi MQ, QF
va HB to’g’ri to’rtburchakning o’lchovlari  x  va 5-x  ga teng, shuning uchun ular bir-biriga tengdir,
ya’ni  S
MQ
+S
QF
=S
HB
=x(S-x);  demak  S=S
M=21.  (3.4).  kichkina  kvadrat  KH    ning  yuzini
shunday almashtirish mumkin; S
MF
-
SM=S
(3.5)
(3.5), (3.3) va (3.4) tenglamalardan: 25-21=(5-x)
2
yoki (5-x)
2
=4   (3.6)
Kichik  kvadrat LH ning  bir  tomoni  5-x=2
bundan x=3
bo’ladi.  Demak,  noma’lum
kvadratning tomoni AD=3; bu (3.1) tenglmaning bitta echimi bo’ladi.
Berilgan  (3.1)  tenglamaning  ikkinchi  ildizi  to’g’ri  ekanligini  isbotlashda shakl  bir  oz
o’zgartirib  chiziladi.  Berilgan    DN=10    kesmaga  tomoni  DB=x  bo’lgan  CB  kvadrat  yasaladi.
Kesmaning qolgan qismi BN ga ikkinchi tomoni EN=x  bo’lgan to’g’ri to’rtburchak AN chiziladi
(2-shakl). Bu holda S
CN
=10x, S
CB
=x
2
va S
CN
=S
CB
+S
AN
yoki 10x=x
2
+S
AN
(3.7)
(3.1) va (3.7) dan S
AN
= 21 (3.8) DN kesmaning o’rtasidan tomonlari FB=FH=x-5 ga teng
bo’lgan HB kvadrat  chiziladi,  kvadratning HQ tomoniga  ikkinchi  tomoni HK=BN=ZM=10-x ga
teng  bo’lgan KQ to’g’ri  to’rtburchak  chizilganda,  tomoni  5  va  yuzi S
KN
=25  (3.9) ga  teng  bo’lgan
KN kvadrat  hosil  bo’ladi.  Yasalgan  KQ,  QN  va  AM  to’g’ri  to’rtburchaklarning  bir-biriga
tengligidan  S
AN
=S
HKMNBQ
=21  va  kichik  kvadratning  yuzi:  S
HB
=(x-5)
2
(3.10)  shakldan  S
KN
-
S
HKMNBQ
=S
HB
(3.9) va (3.10) dan: 25-21=(x-5)
2
(3.11) yoki  4=(x-5)
2
; CB kvadratning tomoni x-
5=2;  bundan  x=7.  Bu  (3.1)  tenglamaning  ikkinchi  ildizi.  Shunday  qilib,  Xorazmiy  “Geometrik
algebra” metodidan foydalanib (3.1) tenglamani echish qoidasini to’g’ri ekanligini isbot qiladi.
Xaqiqatdan (3.6)va (3.11) tengliklarning shakli quyidagicha ketma-ket aynan almashtirish
natijasida o’zgartirsak, yuqorida ko’rsatilgan formula hosil bo’ladi:
(3.6) dan:
(3.11) dan:
25-21=(5-x)
2
25-21=(x=5)
2
21
25
5


