Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

AB
va
10

AC
desak, (10-shakl), SB= 200 -10 bo’ladi. So’ng B nuqtadan
BD=2AC=2·10=20  kesma  chiziladi.  BD  kesmadan  BE=AB= 200 kesma  ajratilsa,  DE=BD-
BE=20- 200 bo’ladi.  BE  kesmaga  CB=BF= 200 -10  kesma  qo’yilsa,  bu  holda  EF=10  va
DE+BF=BD-EF=20-10-10  bo’ladi,  ikkinchi  tomondan:  DE+BF=10  yoki  ( 200 -10)  +(20-
200 )=10. demak, ( 200 -10)+(20- 200 )= 200 -
-10+20- 200 =10, ya’ni bu ikki ifodaning
yig’indisi o’nga teng ekanligi shakl yordamida isbotlandi.

---

84
Xorazmiy o’zi talqin qilgan algebraik va arifmetik amallarni olti bobda bayon qilganidan
keyin,  ularni  tushuntirish  maqsadida  hamda  al-Jabr  va  al-Muqobala  qoidasini  tushuntirish  uchun
konkret misollar keltiradi. Xorazmiy 100+x
2
-20x va 50+10x-2x
2
ko’rinishdagi bir jinssiz ifodalarni
bir-biriga  qo’shish  geometrik  shaklsiz  ham  oson  ekanligini  uqtirib,  bu  ifodalarni  qo’shishni  so’z
orqali shunday bajaradi:
(100+x
2
-20x)+(50+10x-2x
2
)=(100+x
2
-20x)+(50+10x)-2x
2
=150+x
2
-10x-2x
2
=150-x
2
- -10x
A
C
D        E                            F
B
10-shakl
Xorazmiy  algebraik  ifodalar  ustida  amallar  bajarish  bobidan  so’ng  yuqorida  ko’rsatilgan
olti  tipdagi  tenglamalarga  keltiriladigan    va  proporstiya  yordamida  echiladigan  sonli  masalalarni
echish qoidasini beradi. Masalan, “Sen uchdan bir narsa va dirhamni to’rtdan bir narsa va dirhamga
ko’paytirsang yigirmaga teng bo’ladi”. Bizning belgilarda ushbu tenglama hosil bo’ladi:
20
1
4
1
3






 






 
x
x
(1')
(1')  tenglamaning  chap  qismi  hadma-had  ko’paytirilib  bunday  ko’rinishda  yoziladi:
20
1
4
3
12
2




x
x
x
(2')
(2') ga al-muqobala operastiyasi qo’llanilsa:
19
4
3
12
2



x
x
x
(3')
(3')  ni  kasrdan  qutqazib  ixchamlansa,  IV  tur  tenglamaga  keladi.  x
2
+4x+3x=228    yoki
x
2
+7x=228                 (4')
(4') 
tenglamaning 
ildizi 
quyidagi 
formula 
bo’yicha 
topiladi:
12
2
1
3
2
1
15
2
7
4
1
240
2
7
228
4
1
12
2
7
228
2
7
2
2
2
2


























b
c
b
x
Demak, izlangan “narsa” x=12 ekan.
Amaliy  masalalar  ichida,  odamlar  o’rtasida  pul  yoki  g’allani  taqsimlashda  odamlarning
sonini topishga doir masalalar shu sonning bo’lagini topish usuli bilan hal qilinadi. Masalan, “Sen
odamlar o’rtasida dirhamni bo’l, ularning har biriga ma’lum narsa tegadi, agar bu odamlarga yana
bir  odam  qo’shilsa,  har  biriga  tegadigan  narsa  birinchi  galdagidan  oltidan  biriga  kam  bo’ladi.
Buning qoidasi bunday bo’ladi”-deb Xorazmiy masala shartidan tenglama tuzadi va uni ochadi.
Odamlar sonini  x  bilan har bir kishiga tegadigan “narsa” ni
x
1
va bir odam qo’shilgandan
so’ng  har  bir  kishiga  tegadigan  “narsa”  ni
1
1

x
bilan  belgilab,  masala  sharti  bo’yicha
6
1
1
1
1



x
x
(1'')      tenglama  tuzadi.  (1'')    tenglamani  echish  uchun  uning  shaklini  aynan
o’zgatiradi:
6
1
)
1
(
1




x
x
x
x
yoki
1
)
1
(
)
1
(
6
1






x
x
x
x
(2'')
(2'')  ni  qavsni  ochib  kasrdan  qutqarilsa,  IV    tur  tenglama  hosil  bo’ladi:
1
6
1
6
1
2


x
x
yoki   x
2
+x=6          (3'')

---

85
(3'') 
 
 
tenglamaning 
musbat 
ildizi 
quyidagi 
formula 
bo’yicha 
topiladi:
2
2
1
2
1
2
2
1
4
1
6
2
1
6
4
1
2
1
6
2
1
2
2
2
2


























b
c
b
x
Demak, dastlab dirhamni bo’lishga ikki kishi qatnashgan.