Mavzu. Korrelyatsiyaviy va regressiyaviy tahlil elementlari

mavzu. Korrelyatsiyaviy va regressiyaviy tahlil elementlari

Korrelyatsiyaviy tahlil va regressiyaviy tahlil matematik statistikaning yondosh bo’limlari bo’lib, tanlanma ma’lumotlari bo’yicha tasodifiy miqdorlarning statistik bog’liqligini o’rganish uchun mo’ljallangan. Ikkita tasodifiy miqdor yo funktsional, yo statistik bog’liqlik bilan bog’langan yoxud bog’liqmas bo’lishi mumkin.

Agar tasodifiy miqdorning har bir mumkin bo’lgan qiymatiga tasodifiy miqdorning bitta mumkin bo’lgan qiymati mos kelsa, u holda tasodifiy argumentning funktsiyasi deb ataladi:

,

va tasodifiy miqdorlar orasidagi bog’liqlik esa funktsional bog’liqlik deb ataladi.

Qat’iy funktsional bog’liqlik juda kam hollarda mavjud bo’ladi, chunki ikkala tasodifiy miqdor ham yoki ularning bittasi tasodifiy omillarning ta’siriga ham uchraydi va ularning ichida ikkala miqdor uchun umumiy bo’lganlari, ya’ni ham ga, ham ga ta’sir o’tkazuvchi omillar ham bo’lishi mumkin. Bu holda statistik bog’liqlik vujudga keladi. Bitta tasodifiy miq–dorning o’zgarishi boshqasining taqsimoti o’zgarishiga olib ke–ladigan bog’liqlik statistik bog’liqlik deb ataladi. Statistik bog’liqlikning xususiy holi korrelyatsiyaviy bog’liqlikdir.

Agar statistik bog’liqlik qaralayotgan tasodifiy miqdorlardan birining o’zgarishidan ikkinchi tasodifiy miqdor o’rta qiymati o’zgarishining kelib chiqishida namoyon bo’lsa, u holda bunday statistik bog’liqlik korrelyatsiyaviy bog’liqlik deb ataladi.

tasodifiy miqdor bilan funktsional ravishda emas, balki korrelyatsiyaviy holda bog’langan tasodifiy miqdorga misol keltiramiz. don hosili, esa o’g’itlar miqdori bo’lsin. Maydoni bir xil bo’lgan er uchastkalaridan teng miqdorlarda o’g’it solinganda har xil miqdorda hosil olinadi, ya’ni miqdor miqdorning funktsiyasi bo’lmaydi. Bu holat yog’ingarchilik, havo harorati va boshqa tasodifiy omillarning ta’siri bilan tushuntiriladi. Ikkinchi tomondan, o’rtacha hosil o’g’itlar miqdorining funktsiyasi bo’ladi, ya’ni miqdor miqdor bilan korrelyatsiyaviy bog’liqlik orqali bog’langan.

shartli o’rtacha qiymat deb ning qiymatga mos kuzatilgan qiymatlarining o’rta arifmetik qiymatiga aytiladi. Masalan, agar da miqdor , , qiymatlarni qabul qilsa, u holda shartli o’rtacha qiymat ga teng bo’ladi.

shartli o’rtacha qiymat deb ning qiymatga mos kuzatilgan qiymatlarining o’rta arifmetik qiymatiga aytiladi.

Ta’rifdan ko’rinib turibdiki, shartli o’rtacha qiymat ning funktsiyasi bo’ladi; bu funktsiyani orqali belgilab,

(14.1)

tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglama ning ga regressiya tanlanma tenglamasi deb ataladi; funktsiya ning ga tanlanma regressiyasi, uning grafigi esa ning ga regressiya tanlanma chizig’i deb ataladi.

Shunga o’xshash

(14.2)

tenglama ning ga regressiya tanlanma tenglamasi deb ataladi; funktsiya ning ga tanlanma regressiyasi, uning grafigi esa ning ga regressiya tanlanma chizig’i deb ataladi.

Yuqorida zikr etilganlar bilan bog’liq ravishda korrelyatsiya nazariyasining ikkita masalasi vujudga keladi. Birinchisi — va funktsiyalarning ko’rinishi ma’lum bo’lgan shartda parametrlarini kuzatish ma’lumotlari bo’yicha topish. Ikkinchisi — va tasodifiy miqdorlar orasidagi bog’liqlikning kuchi (zichligi)ni baholash hamda bu miqdorlar orasidagi korrelyatsiyaviy bog’liqlikning mavjudligini aniqlash.

miqdoriy belgilar tizimi o’rganilayotgan bo’lsin. ta bog’liqmas tajriba natijasida ta , , ... , sonlar juftligi olindi.

Kuzatish ma’lumotlari bo’yicha regressiya to’g’ri chizig’ining tanlanma tenglamasini topaylik. Aniqlik uchun ning ga regressiyasining

(14.3)

tenglamasini izlaymiz.

belgining har xil qiymatlari va belgining ularga mos qiymatlari bir martadan kuzatilgani uchun ma’lumotlarni guruhlashga zarurat yo’q. Shuningdek, shartli o’rtacha qiymat tushunchasidan foydalanishga ham hojat yo’q, shuning uchun (14.3) tenglamani

(14.4)

ko’rinishda yozish mumkin.

ning ga regressiya to’g’ri chizig’ining burchak koeffitsienti tanlanma regressiya koeffitsienti deb ataladi va orqali belgilanadi. Binobarin, ning ga regressiya to’g’ri chizig’ining qidirilayotgan (14.4) tenglamasini

(14.5)

ko’rinishda izlash lozim.

Shunday va parametrlarni topish kerakki, ularda kuzatish ma’lumotlari bo’yicha yasalgan , , ... , nuqtalar tekislikda (14.5) to’g’ri chiziqqa iloji boricha yaqinroq yotsin.

Buni amalga oshirish uchun eng kichik kvadratlar usulidan foydalanamiz. Bu usuldan foydalanganda ( ) chetlanishlar kvadratlarining yig’indisi minimal bo’lishi kerak, bu erda – kuzatilayotgan qiymatga mos hamda (14.5) tenglama bo’–yicha hisoblangan ordinata, esa – ga mos kuzatilayotgan ordinata. Har bir chetlanish izlanayotgan parametrlarga bog’liq bo’lgani uchun chetlanishlar kvadratlarining yig’indisi ham shu parametrlarning

(14.6)

yoki

(14.7)

funktsiyasi bo’ladi.

Minimumni topish uchun mos xususiy hosilalarni nolga tenglaymiz:

. (14.8)

Bu ikkita chiziqli tenglamalar sistemasini va ga nisbatan echib, izlanayotgan parametrlarni topamiz:

; (14.9)

. (14.10)

Xuddi shunga o’xshash ravishda ning ga regressiya to’g’ri chizig’ining

(14.11)

tanlanma tenglamasini topish mumkin, bu erda – ning ga tanlanma regressiya koeffitsienti.