Mavzu: ikki hadli taqqoslamalar va ularni yechish reja I. Kirish I bob. Taqqoslama haqida tushuncha

2.3 TUB MODULLI YUQORI DARAJALI TAQQOSLAMALAR
Taqqoslamalarning 10-xossasiga asosan, har qanday murakkab modulli taqqoslamalarni doimo tub modulli taqqoslamalarga keltirish mumkin edi. Endi biz tub modulli taqqoslamalar bilan shug‘ullanaylik.

TA’RIF. ko‘phad va bo‘lib, bo‘lsa, u holda ushbu

(25)

taqqoslama – darajali bir noma’lumli taqqoslama deyiladi.

4. 
   taqqoslamani to‘g‘ri sonli taqqoslamaga aylantiruvchi sinf shu taqqoslamaning yechimi deyiladi. sinfining bitta elementi bo‘lgan son modul bo‘yicha tuzilgan chegirmalarning to‘la sistemasiga tegishlidir. Shuning uchun modul bo‘yicha tuzilgan to‘la sistemaning chegirmalari (25) ni qanoatlantirsa, bu taqqoslamaning yechimlari sonni ham shuncha bo‘ladi.
   

Yechimlari to‘plami ustma-ust tushgan taqqoslamalar odatda teng kuchli taqqoslamalar deb ataladi.

Agar (25) taqqoslamaning ikkala qismiga ixtiyoriy ko‘phad qo‘shilsa, u holda hosil bo‘lgan taqqoslama (25) taqqoslamaga teng kuchli taqqoslama bo‘ladi. Agar (25) taqqoslamaning ikkala qismi modul bilan o‘zaro tub bo‘lgan songa ko‘paytirilsa, u holda hosil bo‘lgan taqqoslama (25) taqqoslamaga teng kuchli bo‘ladi. Agar (25) taqqoslamaning ikkala qismi va moduli natural songa ko‘paytirilsa, u holda hosil bo‘lgan taqqoslama berilgan taqqoslamaga teng kuchli taqqoslama bo‘ladi.

Faraz qilaylik, bizga koeffitsientlari sonlar xalqasiga tegishli bir noma’lumli - darajali taqqoslama berilgan bo‘lib, uning moduli tub sondan iborat bo‘lsin, ya’ni

( – tub son ) bo‘lsin.

Avvalo barcha koeffitsientlarni modulga ko‘ra absolyut qiymat bo‘yicha eng kichik qoldiqlar bilan almashtirib olamiz. Masalan,

Taqqoslamani , , bo‘lgani uchun

(26)

ko‘rinishda yozish mumkin. bo‘lganidan

(27)

taqqoslama doimo yagona yechimga ega bo‘ladi. (27) taqqoslamani ga nisbatan yechib, bu topilgan yechimga (26) ning ikkala qismini ko‘paytirsak, oldidagi koeffitsient 1 ga teng bo‘lib qoladi. Haqiqatan, (26) taqqoslamaning ikkala qismini taqqoslamaning yechimi bo‘lgan ga ko‘paytirsak, kurnishni oladi. Umuman olganda quyidagi teorema o‘rinli:

TEOREMA. Darajasi ga teng bo‘lgan, tub modulli taqqoslama darajasi dan kata bo‘lmagan taqqoslamaga teng kuchli bo‘ladi.

ISBOTI.Qoldiqli bo‘lish haqidagi teoremaga asosan, va lar uchun quyidagi tenglikni yoza olamiz:

.

Biz bu yerda qoldiqni dan gacha olmasdan dan gacha oldik, chunki modul bo‘yicha chegirmalarning to‘la sistemasi sifatida yoki sistemani olish mumkin. Bundan tashqari Ferma teoremasiga asosan,

taqqoslama o‘rinli. Bu taqqoslamaning ikkala qismini ketma-ket

ga ko‘paytiramiz. Unda quyidagi taqqoslamalar hosil bo‘ladi:

,

,

…………………………………

Agar bu taqqoslamalarni hadlab ko‘paytirsak va hosil bo‘lgan taqqoslamaning ikkala qismini umumiy ko‘paytuvchiga bo‘lsak, u holda

, (28)

taqqoslama hosil bo‘ladi. va (2) taqqoslamaga asosan

,

ga ega bo‘lamiz.

Misol. taqqoslama berilgan bo‘lsin. Bu yerda bo‘lgani uchun yuqoridagi taqqoslamani

yoki

shaklda yozish mumkin.

TEOREMA. Tub modulli - darajali taqqoslama yechimlari soni tadan ortiq emas.