Mavzu: Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglamalar va ularni integrallash usullari. Mavjudlik va yagonalik teoremasi. Reja: Kirish I bob. Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama

1.3 Hosilaga nisbatan yechilmagan tenglamalar uchun izogonal trayektoriyalar to’g’risidagi masala

Hosilaga nisbatan yechilmagan tenglamalar uchun izogonal trayektoriyalar to’g’risidagi masala hosilaga nisbatan yechilmagan tenglamalar uchun izogonal trayektoriyalar to’g’risidagi masala hosilaga nisbatan yechilmagan tenglamalarga ko’pincha turli geometrik masalalar, masalan, izogonal trayektoriyalar to’g’risidagi masalaga olib keladi.

Agar

(24)

egri chiziqlarning bir parametrik oilasi bo’lsa,u holda uning izogonal trayektoriyalari deb, (24) oila egri chiziqlari bilan bir xil φ burchak ostida kesishadigan egri chiziqlarning boshqa oilasiga aytiladi. Xususiy holda, agar bu burchak to’g’ri bo’lsa,ya’ni bo’lsa, trayektoriyalar ortogonal trayektoriyalar deb ataladi. Berilgan egri chiziqlar oilasi (24) ning differensial tenglamasini tuzamiz. Buning uchun (24) tenglamani x bo’yicha differensiallaymiz:

(25)

(24) va (25) tenglamalardan a parametrni yo’qotamiz. Natijada (24) oilasining differensial tenglamasi

(26)

ko’rinishga ega bo’lsin deb faraz qilaylik. nuqtada kesishuvchi ikkita egri chiziq orasidagi burchak deb, egri chiziqlarga bu nuqtada o’tkazilgan urinmalar orasidagi burchakka aytiladi. Agar (24) oilasining I egri chizig’iga nuqtada o’tkazilgan urunmaning Ox o’q bilan tashkil qilgan burchagini α orqali, shu oilaning II egri chizig’iga ana shu nuqtada o’tkazilgan urinmaning Ox o’q bilan tashkil etgan burchagini β orqali belgilasak, u holda yoki bo’ladi. Bu yerdan

kattalik berilgan, uni k orqali belgilaymiz; shuning uchun . Izogonal trayektoriyaning istalgan nuqtasining koordinatalari bilan bu nuqtadagi urinmaning burchak koeffitsiyenti orasidagi munosabatni,ya’ni trayektoriyalar oilasining differensial tenglamasini hosil qildik.tgβ ni y orqali belgilaymiz; u holda

(27).

Bu differensial tenglamaning umumiy integrali (24) egri chiziqlar oilasi uchun izogonal trayektoriyalar oilasi bo’ladi; ular (24) egri chiziqlarni bir xil burchak ostida kesib o’tadi. Agar trayektoriyalar ortogonal bo’lsa, u holda , , va ortogonal trayektoriyalar oilasining differensial tenglamasi ushbu ko’rinishda bo’ladi:

(28).

Shunday qilib, quyidagi qoidani hosil qilamiz: berilgan (24) egri chiziqlar oilasi uchun izogonal trayektoriyalar oilasining differensial tenglamasini topish uchun bu oilaning (26) differensial tenglamasida y ni bilan almashtirish lozim, bu yerda k_egri chiziqlarning trayektoriyalar bilan kesishish burchagining tangensi.Xususan, ortogonal trayektoriyalar uchun y ni -1/ y ga almashtirish kerak.