Mavzu: Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglamalar va ularni integrallash usullari. Mavjudlik va yagonalik teoremasi. Reja: Kirish I bob. Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama

1.2-§. Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglamalarni integrallash usullari haqida.

n-darajali birinchi tartibli tenglama. Tenglamaning chap tomoni y' ga nisbatan butun ratsional funksiyadan iborat, ya’ni quyidagi ko’rinishga ega:

Bu yerda n-butun musbat son, lar x va y ning funksiyalari .Bu funksiyani y' ga nisbatan yecha olamiz deb faraz qilaylik. Bunda y' uchun, umumiy aytganda, n ta har xil ifoda hosil bo’ladi:

Bu holda (2) tenglamani integrallash birinchi tartibli n ta (1) tenglamani integrallashga keltirildi. Ularning umumiy integrallari mos ravishda quyidagilar bo’lsin:

integrallarning chap tomonlarini o’zaro ko’paytirib, nolga tenglaymiz:

Agar tenglamani y ga nisbatan yechadigan bo’lsak, (2) tenglamaning yechimini hosil qilamiz. Haqiqatan ham, (5) tenglamaning har qanday yechimi (4) tenglamalarning birini, (1) tenglamalarning birortasini va shunday qilib, (2) tenglama (1) tenglamalarga yoyilgani uchun uni ham qanoatlantiradi. Umumiylikka ziyon keltirmasdan, (5) dagi barcha o’zgarmaslarni bitta c bilan almashtirish va tenglamani

ko’rinishda yozish mumkin, bu (2) tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi. Bunga ishonch hosil qilish uchun (6) tenglamaning n ta tenglamaga ajralishini ko’rish mumkin:

bu yerda c-istalgan qiymatlarni qabul qiluvchi ixtiyoriy o’zgarmas, shu sababli (4)

tenglamadan hosil qilinadigan barcha yechimlar (7) tenglamadan hosil qilinadigan yechimlar orasida bo’ladi.

1 - Misol: Ushbu

tenglamaning umumiy integralini topamiz.

Tenglamaning chap tomonini ko’paytuvchilarga ajratib, quyidagini hosil qilamiz:

bu yerdan va . Bu ikkala tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamadir. Ularning umumiy integrallari:

Shuning uchun berilgan tenglamaning umumiy integrali ushbu ko’rinishda bo’ladi:

2 – Misol:

y ga nisbatan yechilgan va x qatnashmagan tenglama.

Gap

(8)

ko’rinishdagi tenglama ustida ketyapti. Bu holda parametr kiritish usulini qo’llash maqsadga muvofiqdir. U qaralayotgan o’zgaruvchilarni parametr orqali ifodalash va yechimni parametrik shaklda izlashdan iborat. deylik. U holda berilgan tenglama

(9)

ko’rinishda yoziladi. Agar x ni p va c orqali ifodalovchi yana bitta tenglama topish mumkin bo’lsa, u holda bu ikkita tenglamadan iborat to’plam (8) tenglamaning parametrik shakldagi umumiy yechimi bo’ladi. Ulardan p ni yo’qotib, x,y va c orasidagi munosabatni, ya’ni odatdagi shakldagi umumiy integralni hosil qilish mumkin. Ikkinchi tenglamani quyidagicha topamiz. tenglikni ko’rinishida qayta yozib olamiz, bu yerdan

Bu yerdagi integralni bo’laklab integrallaymiz:

Demak

(10)

(10) va (9) tenglamalar sistemasi (8) tenglamaning parametrik shakldagi umumiy yechimi bo’ladi. Agar iloji bo’lsa, bu tenglamalardan p ni yo’qotib, shakldagi umumiy integralni hosil qilamiz.

3-Misol:

tenglamaning umumiy yechimini parametrik shaklda topamiz. deymiz;

U holda

Buni x bo’yicha differensiallasak: yoki bo’lgani va p ga qisqartirish mumkin bo’lgani uchun:

.

Bu yerdan va .

Umumiy yechim bunday yoziladi:

Bu yerda biz p≠0 deb faraz qildik. Agar p=0 bo’lsa, y=c ga egamiz;

Bu yechim esa tenglamani c=0 bo’lgandagina qanoatlantirishini ko’rish oson.