Mavzu: Hisoblash tizimlarini analitik va immitasion modellashtirish. Reja

2. Markov modellari.

Umumiy ma’lumotlar. Ommaviy xizmat ko’rsatish tizimlarida mukammal o’rganilgan va tadqiq etilgan modellarga tasodifiy ishlash jarayoni Markov jarayoni sinflariga xos bo’lgan yoki Markov modellar shaklida berilgan tizimlardir. Tizimda ketayotgan tasodifiy jarayon Markov jarayoni deyiladi, agarda ixtiyoriy vaqt dakikasida jarayonni ehtimollik harakterstikalari kelajakda faqat uni hozirgi holatiga bog’liq bo’lib, bu holatga tizim kachon va qanday kelganiga bog’liq emas. Jarayon diskret holatli jarayon deyiladi. Agarda uning mumkin bo’lgan holatlarini z₁, z₂,...z_n Oldindan sanab chiqish mumkin bo’lsa, uning holatlari chekli to’plamga tegishli bo’lsa va tizim bir holatdan ikikinchi holatga oniy dakikada o’tsa.

Agar kechayotgan jarayon uzuluksiz vaqt bo’yicha kechsa va holatlar o’zgar ishi ixtiyoriy tasodifiy daqiqada sodir bo’lsa, bunday jarayon uzuluksiz jarayon deyiladi.

8.1-Rasm. Holatlar grafigiga misol.

Markov modelini tavsiflanishi. Tizim harakatini markov modeli ko’rinishda yozish uchun tizim holati tushunchasini aniqlash lozim, tizim bo’lishi mukin bo’lgan hamma holatlar aniqlanadi; boshlang’ich dakikadagi tizim holati; holatlar grafigi to’ziladi, ya’ni hamma holatlar tasvirlanadi. Graf yasaladi; har bir o’tishdagi oqim intensivligi ko’rsatiladi.



Bu erda p_ij (t, t Q - t dan ∆t gacha vaqt intervalida z_i holatdan z_j holatga o’tish ehtimolligi.

Stattsionar Markov jaryonlarida o’tish intensivligi vaqtga bog’liq emas; _ij (t) q _ij, unda p_ij (t, t Q

Holat tushunchasi modellashtirish maqsadiga bog’liqdir. Ba’zi bir hollarda element holati orqali aniqlanishi mumkin. Ba’zi bir hollarda tizim holati xizmat olayotgan yoki navbatda turgan talabalar soni bilan aniqlanadi.¹

Holatlar ehtimolligi uchun Kolmogorov tenglamasi. Markov jarayonlarining miqdoriy harakteristikasi sifatida holatlar ehtimolliklari to’plami hisoblanadi, ya’ni t daqiqasida jarayon z_i (t q 1, ..., n) holatida bo’lish ehtimolligidir. Bu holatlar ehtimolliklari quyidagi differensial tenglamalar sistemasi orqali aniqlanadi. Bu Kolmogorov tenglamalari sistemalaridir.

(8.8)

Agar boshlang’ich holatlar berilgan bo’lsa, bu chiziqli differentsial tenglamalar sistemasi holatlar ehtimolligini topishni ilojisini beradi.

Kolmogorov tenglamasini quyidagicha yozish mukin.

(8.9)

Bu erda shunisi hisobga olinganki bevosista o’tishlar mavjud bo’lmagan holatlar uchun

Holatlarni chegaraviy ehtimolliklari

Tasodifiy jarayonlar ehtimolligida shuni isbotlanadiki, agara tizimni holatlar soni n chekli bo’lsa, va chekli sonli qadamlar yordamida har bir holatlar ixtiyoriy boshqa holatga o’tish mumkin bo’lsa bunday holatlarni chegaraviy (final) ehtimolliklari mavjud bo’ladi.

(8.10)

Hamma ehtimolliklarni yigindisi doim 1 ga teng. da tizimda S statsinar holat o’rgatiladi. Bu statsionar holatda uning ehtimollik harakterstikalari endi vaqtga bog’liq bo’lmaydi. Tizimni holatlarini chegaraviy ehtimolliklarini z_i shu holatlarda o’rtacha nisbiy vaqt bo’lishligini anglatadi.

Tizim holatlarini chegaraviy holatlarini hisoblash uchun Kolmogorov tenglamalarini chap tomonlarini 0 ga tenglab xosil bo’lgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish etarlidir.

(8.11)

Bu tenglamalar bir jinsli tenglamalardir ya’ni ozod hadlarga ega emas, demak, normallashtirish quyidagi shartidan foydalanib, hamma noma’lumlarni (P_i, iq1,n) topish mumkin.

(8.12)

Bu oxirigi tenglamalar sistemasini echamiz.

Ko’payish va xalok bo’lish tizimi.

Diskret sonli holatlarga va uzuluksiz vaqtli Markov modellariga misol sifatida ko’payish va xalok bo’lish misolini keltirish mumkin. Bu model shunisi bilan harakterlandiki, uning holatlar grafigi zanjir ko’rinishida bo’ladi. Bu grafikni asosiy xususiyati shundaki, har bir urtada turgan holatlar z₁, ..., z_n-1 kushni holatlar bilan z_j to’g’gri va teskari strelkalar bilan bog’langan. (ya’ni chap va ung tomondagi holatlar bilan) faqatgina chekka holatlargina (z₀ va z_n) faqat bitta qo’shni holatlar bilan bog’langan.