Мавзу: Халка ва майдонлар

1. Нормал қисм группа ва фактор-группа


группа ва унинг қисм группаси бўлсин.
Таъриф. Агар ихтиёрий элемент учун ушбу

тенглик ўринли бўлса, у ҳолда қисм группага нормал қисм группа ёки нормал бўлувчи дейилади.
Масала 1. Агар бўлса, қисм группа нормал бўлишини исботланг.
Масала 2. Агар ихтиёрий учун бўлса, қисм группа нормал бўлишини исботланг.
қисм группа бўйича тузилган барча чап қўшни синфлар тўпламини орқали белгилаймиз:
.
Лемма 1. Агар - нормал қисм группа бўлса, у ҳолда тўплам ушбу
(1)
бинар амалга нисбатан группа ҳосил қилади.
Исбот. 1) Бу амал корректлигини, яъни ва тенгликлардан ушбу тенглик келиб чиқишини кўрсатиш лозим. ва эканлигидан ушбу
, ва ,
тенгликлар келиб чиқади. нормал қисм группа бўлгани учун қуйидагилар ўринли:
. (2)
Бу ерда . (2) га кўра муносабат ўринли бўлади. муносабат ҳам шу тарзда кўрсатилади.
2) ассоциативлик бажарилиши равшан.
3) бирлик элемент бўлади.
4) га тескари элемент бўлади. ■
Таъриф. тўплам (1) амалга нисбатан қаралганда ҳосил бўладиган группага - нормал қисм группа бўйича олинган фактор-группа дейилади.
Мисол 1. Қўшиш амалига нисбатан бутун сонлар группасини кўриб чиқамиз. 5 сонига қолдиқсиз бўлинадиган барча бутун сонлар тўпламини орқали белгилаймиз. тўплам нинг нормал қисм группаси бўлиши равшан. Ушбу фактор-группа элементларини топамиз:
.


2. Группалар гомоморфизми
ва группаларда мос равишда ва амаллар киритилган бўлсин.
Таъриф. Агар акслантириш учун ушбу
, (3)
тенглик бажарилса, у ҳолда бу акслантиришга гомоморфизм дейилади.