Мавзу: Халка ва майдонлар

Таъриф. Агар акслантириш ўзаро бир қийматли мослик бўлиб, яъни биекция бўлиб, бу акслантириш учун (3) тенглик ўринли бўлса, у ҳолда бу акслантиришга изоморфизм дейилади.
Теорема 1. гомоморфизм бўлиб, ва улардаги бирлик элементлар бўлсин. У ҳолда қуйидагилар ўринли:
1) ,
2) учун ,
3) тўплам группанинг қисм группаси бўлса, тўплам группанинг қисм группаси бўлади, хусусан қисм группа бўлади.
4) тўплам группанинг қисм группаси бўлса, тўплам группанинг қисм группаси бўлади, агар нормал қисм группа бўлса, ҳам нормал қисм группа бўлади.
Таъриф. гомоморфизм бўлсин. У ҳолда ушбу
(4)
тўпламга гомоморфизмнинг ядроси дейилади.
Теорема 2. гомоморфизм бўлсин. У ҳолда акслантириш ўзаро бир қийматли бўлиши учун бўлиши зарур ва етарлидир.
Теорема 3. гомоморфизм бўлсин. У ҳолда унинг ядроси, яъни тўплам группанинг нормал қисм группаси бўлади.
Теорема 4. (гомоморфизм ҳакида). гомоморфизм ядроси бўйича олинган фактор-группа бу гомоморфизмнинг образига изоморф бўлади:
. (5)
Исбот. нормал қисм группа бўлиши бизга маълум. Ушбу
, (6)
акслантириш изоморфизм эканлигини кўрсатамиз.
1) инектив эканлиги: ,
2) сюректив эканлиги: бўлсин. У ҳолда бирор учун бўлади. Бунга кўра , яъни ,
3) амалнинг сақланиши:
.
Демак, (6) акслантириш изоморфизм экан. ■
Мисол 2. ва кўпайтиришга нисбатан группа ҳосил қилиши маълум. комплекс сонга сонни мос қўювчи акслантириш гомоморфизм бўлади. Унинг ядроси бирлик айланадан иборат. Образи эса группа бўлади:
, .
фактор-группа элементлари маркази нол нуқтада бўлган барча айланалардан иборат. Гомоморфизм ҳақидаги теоремага кўра бу фактор-группа мусбат сонларнинг кўпайтиришга нисбатан группасига изоморф бўлади.