Mavzu: Garmonik funksiyalar va ularning xossalari. Ta’rif

Mavzu: Garmonik funksiyalar va ularning xossalari.
Ta’rif. 2-tartibli uzluksiz hususiy hosilalarga ega bo‘lgan va Laplas tenglamasini qanoatlantiruvchi (ya’ni uning y echimi bo‘lgan) funksiya garmonik funksiya deyiladi.
(1)
ko‘rinishdagi funksiya ham garmonik funksiya (garmonik ko‘phad) bo‘ladi, bu yerda , va - o‘zgaruvchilarga nisbatan ixtiyoriy ko‘phad.
Haqiqatan, (1) ning o‘ng tomonidagi yig‘indi chekli bo‘lgani uchun
,
.
Bundan ekanligi kelib chiqadi.
Huddi shunga o‘xshash, agar va cheksiz differinsiallanuvchi, va qator tekis yaqinlashuvchi bo‘lib, uni , bo‘yicha hadma had differensiallash mumkin bo‘lsa, uholda (1) ifodaninag o‘ng tomonining yig‘indisi bo‘lgan funksiya garmonik funksiya bo‘ladi.
D sohada garmonik bo‘lgan funksiya berilgan bo‘lsin, u vqtda , bu yerda - skalyar doimiy, C- doimiy, haqiqiy, ortogonal n-tartibli matrisa, - doiymiy, haqiqiy vektor bo‘lib, va nuqtalar barchasi D sohaga tegishli.
Bu tasdiqni funksiyani (1) tenglama etib qo‘yib to‘g‘ridan-to‘g‘ri tekshirish yo‘li orqali isbotlash mumkin.
, bu yerda .
, doimiylar uchun quyidagi tenglik o‘rinli:
,
Agar , funksiyalar garmonik bo‘lsa, ular bilan birga, ularning chekli sondagi yig‘indisi funksiya ham garmonik bo’ladi.
Agar funksiya D sohada garmonik funksiya bo‘lsa, u holda quyidagi
funksiya ham o‘zining aniqlanish sohasida garmonik bo‘ladi.
Agar D sohada cheksiz uzoqlashgan nuqta ham mavjud bo‘lsa, u holda yuqorida aniqlangan funksiyani aniqlashtirish kerak, chunki cheksiz uzoqlashgan nuqtada hosila tusunchasi ma’noga ega emas.
funksiyani cheksiz uzoqlashgan nuqta atrofida (ya’ni juda katta radiusli yopiq shardan tashqarida) garmonik deymiz, agar nuqtada ko‘rinishida aniqlangan


funksiya nuqta atrofida garmonik bo‘ladi.
almashtirish natijasida:
funksiyani olamiz.
Shunga asosan cheksiz uzoqlashgan nuqta atrofida Laplas tenglamasining regulayar yechimi deb, cheksiz uzoqlashgan nuqtadan tashqari shu nuqta atrofida garmonik bo‘lgan funksiyani tushunamiz. U funksiya n=2 hol uchun da chegralangan, n>2 da funksiyadan sekin bo‘lmagan holda nolga intiladi.
D – yetarlicha silliq S chegarali fazoda berilgan soha, va bu sohada berilgan haqiqiy, garmonik funksiyalar bo‘lib, o‘zi va birinchi tartibli hosilalari sohada uzluksiz bo‘lsin.
Quyidagi ayniyatni D soha bo‘yicha integrallaymiz:
,

va Gauss-Ostrogradskiy formulasidan foydalanib mos ravishda quyidagilarni olamiz:
, (2)
(3)
(2) va (3) formulalardan garmonik funksiyalarning bir qator xossalari kelib chiqadi:

1. 
   D sohada garmonik bo‘lgan funksiya o‘zi va birinchi tartibli hosilalari sohada uzluksiz bo‘lib, D sohaning chegarasi S da nolga teng bo‘lsa, u holda barcha lar uchun bo‘ladi.(garmonik funksiyaning yagonalik xossasi).
   Isbot. Agar deb olsak, bu xossaning isboti (2) tenglikdan kelib chiqadi. Haqiqatan, da ekanligidan, (2) tenglikka asosan quyidagiga egamiz:
   (4)
   .
   Bundan uchun , ekanligi kelib chiqadi, ya’ni barcha lar uchun . Bundan esa da ekanligidan va yopiq sohada funksiyaning uzluksizligidan barcha lar uchun bo‘ladi degan xulosaga kelamiz.
   
2. 
   D sohada garmonik bo‘lgan funksiya o‘zi va birinchi tartibli hosilalari sohada uzluksiz bo‘lib, funksiyaning normal bo’yicha hosilasi D sohaning chegarasi S da nolga teng bo‘lsa, u holda barcha lar uchun bo‘ladi.
   Isbot. da ekanligini inobatga olsak, bu xossaning isboti (4) dan kelib chiqadi.
   
3. 
   D sohada garmonik bo‘lgan funksiya o‘zi va birinchi tartibli hosilalari sohada uzluksiz bo‘lib, S chegara bo‘yicha funksiyaning normal bo’yicha hosilasi dan olingan integral nolga teng.
   Haqiqatan (2) da deb olsak:
   ekanligi kelib chiqadi.