Mavzu: Garmonik funksiyalar va ularning xossalari. Ta’rif

Garmonik funksiyaning o‘rta qiymati haqidagi teorema. Maksimum prinsipi.


Teorema. Agar shar to‘laligicha u(x) funksiyaning garmonik funksiya boladigan D sohasida yotsa, u holda ushbu funksiyaning shar markazidagi qiymati uning sferadagi qiymatlarining o‘rta arifmetigiga teng.
Isbot. Haqiqatan sferada quyidagi tenglik o‘rinli:

,
U vaqtda garmonik funksiyaning 3-xossasiga asosan shar uchun yozilgan ushbu
(1)
formuladan, bu yerda - birlik sfera maydoni, - Eylerning Gamma funksiyasi., quyidagini olamiz:
. (2)
(2) formulani sfera uchun quyidagu ko‘rnishda yozamiz:
.
oraliqda oxirgi ifodani bo‘yicha integrallab quyidagini olamiz:
(3)
bu yerda - y o‘zgaruvchi bo‘yicha hajm elementi, - sharning hajmi.
(2) va (3) formulalar mos ravishda sfera va shar bo‘yicha garmonik funksiyalanig o‘rta arifmetik formulalari nomi bilan ma’lum.
da qutb koordinatalardan foydalanib, (2) formulani quyidagicha yozish mumkin:
(4)
va
, (5)
bu yerda , , .
Ekstremum prinsipi va Dirixle masalasi yechimning yagonaligi.
D sohada garmonik u(x) funksiyaning mos ravishda eng katta va eng kichik qiymatlarini M va m orqali belgilaymiz.
(3) formulaga asosan garmonik funksiyaning quyidagi xossasini keltrib chiqarish mumkin, ushbu xossa ekstremum prinsipi ham deyiladi.
Garmonik funksiyalar uchun ekstremum prinsipi: O’zgarmas sondan farqli D sohada garmonik u(x) funksiya nuqtalarning birortasida ham M va m qiymatlarga ega bo‘la olmaydi.
yoki bo‘lganda tasdiq o‘rinli, chunki D sohaning har bir nuqtasida u(x) funksiya chekli qiymatga ega.
Isbot. bo‘lsin, teskarisini faraz qilamiz, ya’ni , , va D da yotadigan sharni qaraylik. Bu sharning har bir nuqtasida . Haqiqatan shartni qanoatlantiruvchi har bir y nuqta uchun u(y)M shart bajarilmaydi), u holda u(x) funksiyaning uzluksizligiga asosan qandaydir atrofning har bir nuqtasida shu tengsizlik bajarilishi kerak edi va sharga (3) formulani qo‘llasak, M - D sohaning ixtiyoriy fiksirlangan nuqtasi va - x nuqtani nuqta bilan tutashtiruvchi D da yotadigan uzluksiz egri chiziq bo‘lsin. soni D sohaning chegarasi S va egri chiziq orasidagi masofadan ham kichik son bo‘lsin. sharning markazini nuqtadan egri chiziq bo‘ylab x nuqtaga ko‘chirib, yuqorida isbotlangan faktga asosan y ning bu shar ichidagi holati u=M, demak, u(x)=M. Bundan D sohaning barcha nuqtalari uchun ham u(x)=M natijani olamiz. Shunday qilib tasdiqning 1-qismi isbot bo‘ldi, xuddi shunday 2- qismi ham m uchun isbotlanadi.
Agar D sohada garmonik bo‘lgan u(x) funksiya da uzluksiz bo‘lsa, u holda u o‘zining maksimum (yoki minimum) qiymatiga qandaydir nuqtada erishadi.
Yuqorida isbotlangan tasdiqqa asosan, , balki, , ya’ni nuqta D sohaning ichki nuqtasi bo‘la olmaydi, balki chegaraviy nuqtasi bo‘ladi.
Garmonik funksiyalar uchun ekstremum prinsipidan Dirixle masalasining, ya’ni
D soha ichida tenglamani va quyidagi chegaraviy shartni:
, S da (birinchi chegaraviy masala)
masalaning yagona yechimga ega ekanligi kelib chiqadi. Haqiqatan, agar u(x) va v(x) funksiyalar Dirixle masalasining yechimlari bo‘lsa, u holda ularning ayirmasi: w(x)=u(x)-v(x) D sohaning S chegarasida nolga teng bo‘ladi. U holda ekstremum prinsipiga asosan w(x)=0, ya’ni da u(x)=v(x) bo‘ladi.