Mavzu. Furye qatori. Funksiyalarni furye qatoriga yoyish

2-misol. Ushbu



juft funksiyaning Furye qatori topilsin.

◄ Avvalo berilgan funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini topamiz:

Demak, funksiyaning Furye qatori

bo‘ladi. ►

3-misol. Ushbu



toq funksiyaning Furye qatori topilsin.

◄Berilgan funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini hisoblay­miz:

.

Demak, funksiyaning Furye qatori

bo‘ladi.►

Faraz qilaylik, funksiya segmentda uzluksiz bo‘lsin. Ma’lumki, ushbu

almashtirish oraliqni ga o‘tkazadi, ya’ni o‘zgaruvchi da o‘zgarganda o‘zgaruvchi da o‘zgaradi. Endi

deymiz. Unda funksiya oraliqda berilgan uzluksiz funk­siya bo‘ladi. Bu funksiyaning Furye koeffitsiyentlari

ni topib, Furye qatorini yozamiz:

.

Modomiki,

ekan, unda

bo‘lib, uning koeffitsiyentlari

bo‘ladi. Natijada da berilgan funksiyaning Furye qatorini quyidagicha

bo‘lishini topamiz, bunda

4-misol. Ushbu



funksiyaning Furye qatori topilsin.

◄ Yuqoridagi formulalardan foydalanib, funksiya­ning Furye koeffitsiyentilarini topamiz:

Demak,

funksiyaning Furye qatori

bo‘ladi.►

Aytaylik, funksiya da berilgan bo’lsin. segment nuqtalar yordamida bo‘laklarga ajratilgan. .

Agar har bir da funksiya differensiallanuvchi bo‘lib, nuqtalarda chekli o‘ng

,

va chap

hosilalarga ega bo‘lsa, funksiya da bo‘lakli-differensiallanuvchi deyiladi.

Endi Furye qatorining yaqinlashuvchi bo‘lishi haqidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.

Teorema. davrli funksiya oraliqda bo‘lakli-differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda bu funksiyaning Furye qatori



da yaqinlashuvchi bo‘lib, uning yig‘indisi



ga teng bo‘ladi.

5-misol. Ushbu



funksiyaning Furye qatori topilsin va u yaqinlashishga tekshirilsin.

◄ Bu funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini topamiz. Qaralayotgan funksiya juft bo‘lgani uchun

bo‘lib,

bo‘ladi. Demak,

.

Agar funksiya teoremaning shartlarini bajarishini e’tiborga olsak, unda

bo‘lishini topamiz.►