Mavzu. Funksiya limiti, limitlar haqidagi teoremalar reja

2. Funksiya limiti ta’riflari va ekvivalentligi.
Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta to‘plam-ning limit nuqtasi bo‘lsin. nuqtaga intiluvchi ixtiyoriy :

ketma-ketlikni olib, funksiya qiymatlaridan iborat :

ketma-ketlikni hosil qilamiz.
3-ta’rif. (Geyne). Agar da bo‘ladigan ixtiyoriy ketma-ketlik uchun da bo‘lsa, ga funksiyaning nuqtadagi limiti deyiladi va da yoki

kabi belgilanadi.
Eslatma. Agar da
va
bo‘ladigan turli , ketma-ketliklar uchun da , bo‘lib, bo‘lsa funksiya da limitga ega emas deyiladi.
1-misol. Ushbu

funksiyaning nuqtadagi limiti topilsin.
Quyidagi :

ketma-ketlikni olaylik. Unda

bo‘lib, da bo‘ladi. Demak,

4-ta’rif. (Koshi). Agar son olinganda ham shunday topilsaki, uchun

tengsizlik bajarilsa, soni funksiyaning nuqtadagi limiti deyiladi:
.
Bu ta’rifni qisqacha quyidagicha ham aytish mumkin:
, , :
bo‘lsa, .
2-misol.  bo‘lsin. Bu funksiya uchun

bo‘ladi.
3-misol. Ushbu funksiyaning nuqtadagi limiti 2 ga teng ekani ko‘rsatilsin.
soniga ko‘ra deb olsak, u holda tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy da

bo‘ladi. Demak,
5-ta’rif.  Agar son olinganda ham shunday son topilsaki, uchun tengsizlik bajarilsa, funksiyaning nuqtadagi limiti deb ataladi va

kabi belgilanadi.
Masalan,
,
funksiya uchun

bo‘ladi.
Aytaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.