Mavzu: Elastiklik teoremalari

Dekart koordinatalari sistemasida asosiy tenglamalar.
Bundan oldingi boblarda keltirib chiqarilgan hamma tenglama va munosabatlar Dekart koordinatalari sistemasida tenzor usulida yozildi. Ko‘pincha ushbu tenglamalar odatdagi belgilashlar orqali hamda tenzor usulida emas, balki yoyilgan ko‘rinishda ishlatiladi. Quyida biz tenglamalarning shunday ko‘rinishlarini keltirishni lozim topdik. Ushbu tenglamalarni, 5.1-§ da keltirilgan tenglamalarni yoyib yozib, keyin almashtirib yozish yo‘li bilan osongina olish mumkin.
1⁰. Ko‘chish vektori, deformatsia va kuchlanish tenzorlarining komponentalari quyidagicha belgilanadi:
(88)
2⁰. Deformatsiyalar va ko‘chishlar orasidagi Koshining differensial munisabatlari

(89)

3⁰. Hajmiy deformatsia
(90)
4⁰. Kichik burilish tenzori va burilish vektori komponentalari
(91)
5⁰. Izotrop jism uchun Guk qonuni:
(92)
6⁰. Ko‘chishlarga nisbatan muvozanat va harakat tenglamalari (Lame tenglamalari):

(93)
- ixtiyoriy skalyar funksiya.
7⁰. Lamening vektor tenglamasi:
graddiv -rot rot (94)
bu yerda:

8⁰. Kuchlanishlarga nisbatan muvozanat va harakat tenglamalari:
(95)
9⁰. Deformatsialarning uzviylik tenglamalari (Sen-Venan tenglamalari):
;
(96)
10⁰. Kuchlanishlarning uzviylik tenglamalari (Beltrami tenglamalari):
(97)

6. 
   Klapeyron teoremasi, Kirxgoff teoremasi va Betti teoremasi
   

Quyida biz elastiklik nazariyasining uchta umumiy teoremalarini qarab chiqamiz. Bulardan birinchisi deformatsianing ishi haqidagi Klapeyron teoremasidan iboratdir.
Faraz qilaylik, hajmga ega va sirt bilan chegaralangan elastik jism - massaviy va -sirt kuchlari ta‘siri ostida muvozanat holatida bo‘lsin. Ushbu kuchlarning o‘zlari vujudga keltirgan ko‘chishlarda bajargan ishi
(98)
Ikkinchi integralni Ostrogradskiy formulasiga ko‘ra
(99)
kabi hajm bo‘yicha olingan integralga o‘tkazish mumkin. Oxirgi integralni quyidagicha almashtiramiz:
(100)
bu yerda [chunki -simmetrik, -antisimmetrik tenzorlar bo‘lganliklari uchun] ekanligi hisobga olingan.
(100) ni (98) ga qo‘ysak,
(101)
ifodaga ega bo‘lamiz. Bu yerda muvozanat tenglamalarini va Grin formulasini hisobga olsak,
(102)
formulani olamiz. Olingan (102) tenglik ixtiyoriy elastik jism uchun Klapeyron teoremasini ifodalaydi. Bu yerda - elastik potensial va u deformatsialanish izotermik bo‘lganda, erkin energiya bilan aniqlanadi deformatsiyaning solishtirma ishidan iborat.
Xususiy holda agar jism Guk qonuniga bo‘ysunsa, u holda elastik potensial larning kvadratik funksiyasidan iborat bo‘ladi. Bu holda Klapeyron formulasi

dan foydalanib (102) ni
(103)
ko‘rinishga keltiramiz. Demak, Klapeyron tenglamasiga ko‘ra chiziqli-elastik jism uchun, deformatsia ishi tashqi kuchlarning o‘zlari vujudga keltirgan ko‘chishlarda bajargan ishining yarmiga teng.
Klapeyron teoremasining aynan (103) ko‘rinishini quyidagi yechimning yagonaligi haqidagi teoremani isbotlashda qo‘llaymiz.