Mavzu: Diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlarning dispersiyasi reja

Mavzu: Diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlarning dispersiyasi

REJA:

1.Tasodifiy miqdorni oʻzining matematik kutilishidan chetlanishi 2
2.Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi. 3
3.Dispersiyani hisoblash uchun formula 5
4.Dispersiyaning xossalari 6
5.Erkli sinashlarda hodisaning ro`y berish sonining dispersiyasi 9
6.O`rtacha kvadratik chetlanish 11
Foydalanilgan adabiyotlar 13

1. Tasodifiy miqdorni oʻzining matematik kutilishidan chetlanishi

Aytaylik, X - tasodifiy miqdor. M(X) uning matematik kutilishi boʻlsin. Yangi tasodifiy miqdor sifatida X–M(X)ayirmani qaraymiz. Chetlanish deb, tasodifiy miqdor bilan uning matematik kutilishi orasidagi farqqa aytiladi.
X ning taqsimot qonuni maʼlum boʻlsin:

Chetlanishning taqsimot qonunini yozamiz. Chetlanish X–M(X) qiymat qabul qilishi uchun tasodifiy miqdor x₁ qiymat qabul qilishi kifoya. Bu hodisaning ehtimoli esa p₁ ga teng; demak, chetlanishning ham x₁–M(X) qiymat qabul qilish ehtimoli p₁ ga teng. Chetlanishning boshqa mumkin boʻlgan qiymatlari uchun ham yuqoridagiga oʻxshash mulohazalar oʻrinli.
Shunday qilib, chetlanish quyidagi taqsimot qonuniga ega.


Chetlanishning keyinchalik qoʻllanadigan muhim xossasini keltiramiz.
Teorema. Chetlanishning matematik kutilish nolga teng:
.
Isboti. Matematik kutilishining xossalaridan (ayirmaning matematik kutilishi matematik kutilishlar ayirmasiga teng, oʻzgarmas sonning matematik kutilishi oʻsha oʻzgarmasning oʻziga teng) foydalanib va M(X) oʻzgarmas ekanligini nazarda tutib, quyidagini hosil qilamiz:

2. Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi.

Praktikada koʻpincha tasodifiy miqdorning mumkin boʻlgan qiymatlarini uning oʻrtacha qiymati atrofida tarqoq ligini baholash talab qilinadi. Masalan, artilleriyada otilgan snaryadlar urib tushirilishi lozim boʻlgan nishonotilgan snaryadlar urib tushirilishi lozim boʻlgan nishon atrofiga qanchalik yaqin tushishini bilish muhimdir.
Birinchi qarashda, tarqoqlikni baholash uchun eng sodda yoʻl tasodifiy miqdor chetlanishining mumkin boʻlgan barcha qiymatlarini hisoblash, keyin uning oʻrtacha qiymatini topishdan iboratdek tuyuladi. Ammo bunday yo’l hech qanday natija bermaydi, chunki chetlanishning oʻrtacha qiymati, yaʼni M[X-M(X)] istalgan tasodifiy miqdor uchun nolga teng. Bu xossa avvalgi paragrafda isbotlangan boʻlib, u bunday tushuntiriladi: baʼzi mumkin boʻlgan chetlanishlar musbat boʻlsa, boshqalari manfiy, ularning oʻzaro yoʻqotilishi natijasida chetlanishning oʻrtacha qiymati nolga teng bo’ladi.
Bu mulohazalar mumkin boʻlgan chetlanishlarni ularning absolyut qiymatlari yoki kvadratlari bilan almashtirish maqsadga muvofiqligi haqida darak beradi. Amalda ham shunday qilinadi. Toʻgʻri, mumkin boʻlgan chetlanishlarni ularning absolyut qiymatlari bilan almashtirilganda, absolyut miqdorlar bilan ish tutishga toʻgʻri keladi, bu esa baʼzan jiddiy qiyinchiliklarga olib keladi. Shuning uchun koʻpincha boshqacha yo’l tutiladi, yaʼni chetlanish kvadrati ning oʻrtacha qiymati hisoblanadi va uni odatda dispersiya deyiladi.
Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi (tarqoqligi) deb, tasodifiy miqdorni oʻzining matematik kutilishidan chetlanishi kvadratining matematik kutilishiga aytiladi:
.
Tasodifiy miqdor taqsimot qonuni bilan berilgan boʻlsin:

U holda chetlanish kvadrati quyidagi taqsimot qonuniga ega bo’ladi:


Shunday qilib, dispersiyani hisoblash uchun chetlanish kvadratining mumkin boʻlgan qiymatlarini ularning ehtimollariga koʻpaytmalari yigʻindisini hisoblash kifoya.
Eslatma. Taʼrifdan diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi oʻzgarmas miqdor ekanligi kelib chiqadi. Keyinchalik, oʻkuvchi uzluksiz tasodifiy miqdorning dispersiyasi ham oʻzgarmas miqdor ekanligini bilib oladi.