Mavzu: Diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlarning dispersiyasi reja

Erkli sinashlarda hodisaning ro`y berish sonining dispersiyasi

Har birida A hodisaning ro`y berish ehtimoli bir xil bo`lgan n ta erkli sinash o`tkazilayotgan bo`lsin.Bu sinashlarda hodisaning ro`y berish sonining dispersiyasi qanchaga teng? Bu savolga quyidagi teorema javob beradi.
Teorema. Har birida A hodisaning ro`y berish ehtimoli p o`zgarmas bo`lgan n ta erkli sinashda bu hodisa ro`y berishlari sonining dispersiyasi sonini bitta sinashda hodisaning ro`y berish va ro`y bermaslik ehtimolilarga ko`paytirilganiga teng:

Isboti. X tasodifiy miqdor – A hodisaning n ta sinashda ro`y berishlar sonini qaraymiz.Ravshanki, bu sinashlarda hodisaning ro`y berishlari jami soni uning ayrim sinashlarda ro`y berishlari yig`indisiga teng:

bu yerda birinchi sinashda , .. , n sinashda hodisaning ro`y berish soni.
miqdorlar o`zaro erkli ,chunki har bir sinashning natijasi qolganlarining natijalariga bog`liq emas,demak,1-natijadan (5-§) foydalanishga haqimiz bor :

X₁ ning dispersiyasini quyidagi formula bo`yicha hisoblaymiz:

X₁ miqdor birinchi tajribada A hodisaning ro`y berish soni,shuning uchun (VII bob,2-§,2-misol) M( )=p.
Faqat ikkita qiymatni ,chunonchi p ehtimol bilan l<sup>2</sup> ni va q ehtimol bilan 0<sup>2</sup> ni qabul qilish mumkin bo`lgan tasodifiy miqdorining matematik kutilishini topamiz:

Topilgan natijalarni (**) munosabatga qo`yib ,quyidagini hosil qilamiz:

Ravshanki,qolgan tasodifiy miqdorlardan har birining dispersiyasi ham pq ga teng.(*) munosabatning o`ng tomonidagi har bir qo`shiluvchini pq ga almashtirib,

tenglikni hosil qilamiz.
Eslatma. X miqdor binominal qonun bo`yicha taqsimlanganligi uchun isbotlangan teoremani bunday ta`riflash ham mumkin:n va p parametrli binomial taqsimotning dispersiyasi npq ko`paytmaga teng.
Misol. Har birida hodisaning ro`y berish ehtimoli 0,6 ga teng bo`lgan 10 ta erkli sinash o`tkazilmoqda.X tasodifiy miqdor –bu sinashlarda hodisaning ro`y berish soni dispersiyasini hisoblang.
Yechilishi. Shartga ko`ra n=10,p=0,4. Hodisaning ro`y bermaslik ehtimoli :
q=1-0,6=0,4
Izlanayotgan dispersiyasi:

6.