Mavzu: Differensial tenglamaga keltiriladigan geometrik va fizik masalalar. Fizik masalalar

Misollar.
1) Ichida 20 l. Suvi bo‘lgan idishga har litrda 0,2 kg tuz bulgan qorishma minutiga 5 l. Tezlik bilan uzulksiz quyilayapti. Idishda qorishma suv bilan aralashib, xudi shu tezlikda chiqib ketayapti. 4 minutdan keyin idishdagi tuz miqdori qancha bo‘ladi?
Yechimi. orqali t minutdan keyingi idishdagi tuzning miqdori­ni belgilaymiz. oraliqda idishdagi idishdagi tuzning miqdori qanchaga o‘zgarishini hisoblaylik. vaqt idishga 5 miqdor qorishma tushadi. Bu qorishmaning tarkibida kg tuz bor.
Shu vaqtning ichida idishdan 5 l qorishma chiqib ketadi. t momentda idishdagi tuzning miqdori kg edi, agar vaqtda idishdagi tuzning miqdori o‘zgarmasa, 5 l chiqib ketayotgan aralashma

tuz bor. Umuman olganda idishdagi tuzning miqdori qandaydir α ga o‘zgaradi ( ), shuning uchun idishdan vaqtda oqib chiqqan tuzning miqdori kg bo‘ladi, bu yerda
Shunday qilib vaqt oralig‘ida idishga kg tuz tushadi, kg tuz idishdan oqib chiqadi. Bundan

tenglikni olamiz. Tenglikni har ikkala tomoni ga bo‘lib, da limitga o‘tamiz. Agar biz da ekanligini e’tiborga olsak, differensiyal tenglamani olamiz. Bu tengla­maning umumiy integrali ko‘rinishda bo‘ladi. da idishdagi tuzning miqdori bo‘lganligi uchun

demak, Shunday qilib, idishdagi tuzning miqdori

qonun bilan o‘zgaradi. momentdagi tuzning miqdori kg ga teng bo‘ladi.
2) Uzunligi L va diametri D bo‘lgan temir temir yo‘l sisternasi kerosin bilan to‘ldirilgan. Kerosin sisterna ostida joylashgan va kesim yuzi ω bo‘lgan qisqa chiqish naychasi orqali oqizib yuborilganda sisterna qancha vaqtda bo‘shashini aniqlang.
Yechimi .Avval bunday umumiy holda qanday hal qilinishini tushuntiramiz. Faraz qilaylik, ko‘ndalang kesim yuzi S balandlik h ning ma’lum S = S (h) funksiyasi bo‘lgan idish H sathgacha suyuqlik bilan to‘ldirilgan bo‘lsin. Idish tubida yuzi ω bo‘lgan teshik bo‘lib, undan suyuqlik oqib chiqadi. Suyuqlik sathi dastlabki H holatdan istalgan h gacha pasayish vaqti t ni va idishning to‘la bo‘shash vaqti T ni aniqlaymiz. Biz idishdagi suyuqlik sathi ning ma’lum v = v (h) funksiyasi deb faraz qilamiz.
Biror t momentda idishdagi suyuqlik balandligi h ga teng bo‘lsin. vaqt oralig‘ida idishdan oqib chiqadigan suyuqlik miqdori ΔV ni topaylik: ikkinchi tomondan (pasayganligi uchun manfiy ishora bilan olindi) bo‘lgani uchun tenglikni olamiz. Tenglikni har ikki tomoni ga bo‘lib, da limitga o‘tsak, quyidagi differensial tenglamani olamiz:

Bu tenglamani integrallab,

yechimni olamiz.
Idish to‘la bo‘shaganda h = 0 bo‘lgani uchun uning to‘la bo‘shash payti T quyidagicha topiladi:

Agar suyuqlik kichik teshikdan yoki qisqa naychadan oqib chiqayotgan bo‘lsa, Torrichelli qonuniga muvofiq bu yerda g – og‘irlik kuchi tezlanishi, μ – empirik koeffitsiyent (sarf bo‘lish koeffitsiyenti). U holda hosil qilingan ifodalar quyidagi ko‘rinishni oladi:

Bizning konkret misolimizda

bo‘lgani uchun

Geometrik masalalarni yechishda, avval chizmani chizib olish kerak. Keyin izlanayotgan funksiyani y = y (x) orqali belgilab masala shartini miqdorlarni x, y va ( urinmaning burchak koeffitsiyenti ekanligidan foydalanish kerak)lar orqali ifodalansa, hosil bo‘lgan tenglik differensial tenglama bo‘ladi. Differensial tenglamani yechib, y = y (x) izlanayotgan funksiyani topamiz.
Misol. egri chiziqlar ( – parametr) oilasining izogonal trayektoriyalarini toping (shu oila egri chiziqlari bilan bir xil burchak ostida kesishuvchi boshqa bir oila izogonal trayektoriyalari deyiladi)
Yechimi .Berilgan chiziqlar oilasining differensial oilasini tuzamiz. Buning uchun quyidagi sistemadan C parametrni yo‘qotamiz:
(1)
Natijada berilgan chiziqlar oilasining

ko‘rinishdagi tenglamasini olamiz (bu yerda umuman olganda ko‘rinishdagi tenglama hosil bo‘ladi, biz uni ga nisbatan yechib olish mumkin deb faraz qilamiz).
Ma’lumki, nuqtada kesishuvchi ikki egri chiziq orasidagi burchak deb, egri chiziqlarga bu nuqtalarda o‘tkazilgan urinmalar orasidagi burchakka aytiladi. Biri birinchi (berilgan), ikkinchisi ikkinchi (topish kerak bo‘lgan) chiziqlar oilasiga tegishli bo‘lgan nuqtada o‘zaro kesishuvchi ixtiyoriy ikkita chiziqni I va II deb belgilab olaylik (2-rasmga qarang). I va II chiziqlarga M nuqtada o‘tkazilgan urinmalarning OX o‘qi bilan hosil qilgan burchaklarni mos ravishda bilan belgilasak, I va II chiziqlar orasidagi burchak bo‘ladi. Bundan
(2)

2-rasm.

tenglikni olamiz. Tushunarliki, – ma’lum ( burchak berilgan), ( chiziqqa berilgan nuqtadan o‘tkazil­gan urinmaning burchak koeffitsiyentini beradi). Demak, (2) munosabat (3)

ko‘rinishida bo‘ladi. Bu umumiy integrali berilgan egri chiziqlar oilasi uchun izogonal trayektoriyalar bo‘ladi, ular berilgan egri chiziqlarni bir xil burchak ostida kesib o‘tadi. Agar trayektoriyalar ortogonal bo‘lsa, u holda

bo‘lib, ortogonal trayektoriyalar oilasining differensial tenglamasi ushbu ko‘rinishda bo‘ladi:
(4)
Xususan, chiziqlar oilasiga ortogonal bo‘lgan (chiziq­lar oilasini) trayektoriyalarini topish kerak bo‘lsin.
Avvalo, chiziqlar oilasining differensial tenglamasini tuzib olamiz:

Demak, berilgan chiziqlar oilasining differensial tenglamasi ekan. (4) tenglikka ko‘ra izlanayotgan trayektoriyalarning differensial tenglamasi
(5)
ko‘rinishda bo‘ladi. Bu differensial tenglamani yechamiz

Demak, izlanayotgan chiziqlar oilasining tenglamasi bo‘ladi.
Misol. Shunday chiziqni topingki, uning ixtiyoriy nuqtasidan o‘tkazilgan urinma, urinish nuqtasi ordinatasi va abssissalar o‘qi xosil qilgan uchburchak yuzi o‘zgarmas ga teng bo‘lsin.

3-rasm.

Yechimi. Izlanayotgan chiziqning ixtiyoriy nuqtasini olaylik (3-rasmga qarang). Tushunarliki, chiziqqa nuqtadan o‘tka­zilgan urinma bilan OX o‘qi orasidagi burchak uchun tenglik o‘rinli. Biz quyida­gilarga egamiz:

Ikkinchi tomondan demak, quyidagi differensial tenglamaga ega bo‘lamiz:

Bu tenglamani o‘zgaruvchilarini ajratib yechamiz:

Shunday qilib, biz masalaning yechimini oldik, izlangan chiziq ko‘rinishida bo‘lar ekan.