Mavzu: darajali qatorlar. Qabul qiluvchi: tursunov bekzodbek

1-misol. Ushbu

funksiya Teylor qatoriga yoyilsin.

◄Ma’lumki,

bo‘ladi.

Biz yuqorida

bo‘lishini ko‘rgan edik. Bu munosabatlardan foydalanib topamiz:

Demak,

. (10)

(10) darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo‘lib, yaqinlashish to‘plamsi bo‘ladi.►

2-misol. Ushbu

funksiya Teylor qatoriga yoyilsin.

◄Ma’lumki,

.

Unda

bo‘ladi. Bu darajali qatorni hadlab integrallab topamiz:

Keyingi darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo‘ladi.►

3-misol. Ushbu

funksiya Teylor qatoriga yoyilsin va bu qatorning yaqinlashish radiusi topilsin.

◄ Avvalo funksiyani quyidagicha yozib olamiz:

Ma’lumki,

,

.

Bu formulalardan foydalanib topamiz:

,

Demak,

bo‘ladi.

Bu darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo‘ladi. ►

MAKLOREN QATOR.

Faraz qilaylik, berilgan f(x) funktsiya quyidagi darajali qatorga yoyilgan bo`lsin:

(1)

Bundagi a₀, a₁, a₂, a₃,… lar aniqmas koeffisiyentlardan iborat. Shu koeffisiyentlarni berilgan f(x) funktsiya orqali ifodalaymiz. Darajali qatorni uning yaqinlashish oraligi da hadlab differentsiallaymiz:

Hosil bo`lgan tengliklar va (1) tenglikda x=0 deb, quyidagi a<sub>0</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>,… larga ega bo`lamiz:

, , , , ,...

Bu qiymatlarni (1) qatorga qo`yamiz:

(2)

Hosil bo`lgan (2) qatorga Makloren qatori deyiladi.

formula esa qoldiq hadli Makloren formulasidir.

Teylor va Makloren qatorlaridan ko`rinadiki, Makloren qatori Teylor qatorining xususiy holidan iborat bo`lib, Teylor qatoridagi x = 0 bo`lganda ikkala qator ham bir xil ko`rinishga ega bo`ladi.

x=a nuqta atrofida (n+1)-tartibli hamma hosilalarga ega bo’lgan (x) uchun Teylorning quyidagi formulasini bilamiz

(1)

Bu yerda 0<<1

Teylor formulasi qoldiq hadining Lagranj formulasi.

Agar (x) funktsiya x=a nuqta atrofida barcha hosilalarga ega bo’lsa, n da qoldir had R_n uchun bo’ladi.

(3)