Mavzu: da ketma-ketlik va uning limiti

2.3. FAZODA KETMA-KETLIK VA UNING LIMITI

Natural sonlar to’plami N va fazoda berilgan bo’lib, F xar bir n (nєN) ga fazoning biror muayyan nuqtasini mos quyuvchi akslantirish bo’lsin:

F:n → yoki

Bu akslantirishni quyidagicha tasvirlash mumkin:

………………………………

F:n → akslantirishning tasvirlaridan tuzilgan

x⁽¹⁾ x⁽²⁾… x⁽ⁿ⁾ … (1) to’plam ketma-ketlik deb ataladi, va u {x(n)} kabi

belgilanadi. Xar bir x⁽ⁿ⁾ni ketma-ketlik xadi deyiladi. Demak (1) ketma-ketlik xatlari fazo nuqtalaridan iborat ekan. Shuni xam ta’kidlash kerakki {x(n)} ketma-ketlikning mos koordinatalaridan tuzilgan.

{x₁⁽ⁿ⁾}, {x₂⁽ⁿ⁾},… {x_m⁽ⁿ⁾}lar sonli ketma-ketlik bo’ladi {x(n)} ketma-ketlikni shu m ta ketma-ketlikning birgalikda qaralishi deb hisoblash mumkin.

Misol.

2. fazoda ketma-ketlikning limiti tushunchasi (R da) xaqiqiy sonlar ketma-ketligining limiti tushunchasi kabi kiritiladi.

fazoda biror x₁⁽ⁿ⁾x₂⁽ⁿ⁾… x_m⁽ⁿ⁾ … (1) ketma-ketlik va biror

a = (a₁, a₂,… a_m) є nuqta berilgan bo’lsin.

Ta’rif : Agar ixtiyoriy ε> 0 son olinganda xam , shunday n₀ є N,topilsaki barcha

_{n > n0} uchun ρ (x⁽ⁿ⁾ a)< є (2) bajarilsa a nuqta {x(n)} ketma-ketliking limiti deb ataladi va yoki da kabi belgilanadi

a nuqtaning ε – atrofidan foydalanib ketma-ketlik limitini quyidagicha ta’riflash mumkin.

Ta’rif : a nuqtaning U ε (a) atrofi olinganda ham {x(n)} ketma-ketlikning biror hadidan boshlab, keyingi barcha hadlari shu atrofga tegishli bo’lsa, a nuqta { x⁽ⁿ⁾} ketma-ketlikning limiti deb ataladi.

Misol { x⁽ⁿ⁾} = {(-1)ⁿ⁺¹, (-1)ⁿ⁺¹} ketma-ketlikning limiti mavjud ekanligi ko’rsatilsin.

Teskarisini faraz qilaylik ketma-ketlik limitga ega va u a=(a₁a₂) ga teng bo’lsin. U holda ta’rifga ko’ra ε>0 (jumladan ε =1) uchun n₀ єN topiladiki n > n₀ lar uchun.

^{bo’ladi }

Bu ziddiyatlik ketma-ketlikning limitining mavjud ekanligini bildiradi.

fazoda {x⁽ⁿ⁾ }={x₁⁽ⁿ⁾x₂⁽ⁿ⁾… x_m⁽ⁿ⁾ } ketma -ketlik berilgan bo’lsin, u limitga ega bo’lsin.u holda limit ta’rifiga ko’ra, ketma ketlikning biror hadidan boshlab barcha hadlari a nuqtaning U_ε (a) sferik atrofiga tegishli bo’ladi va shu nuqtaning parallelepipedial atrofining qismi bo’ladi

Demak hadlari { x⁽ⁿ⁾} ketma-ketlikning o’sha n₀ hadidan boshlab barcha hadlari a nuqtaning

atrofida yotadi, ya’ni barcha n>n₀ lar uchun xⁿ  ) = {(x₁, x₂ … x_m) є ; a₁-ε < x¹< a₁+a₂ a₂ – ε _{2 2}+ ε, … a_m – ε < x_m < a_m+ ε} bo’ladi.

Bundan esa n > n₀ lar uchun

bo’lishi kelib chiqadi.

Demak  ε >0 olinganda ham shunday n₀ є N topiladiki, barch n > n₀ lar uchun. │x₁⁽ⁿ⁾ - a│< ε , │x₂⁽ⁿ⁾ - a│< ε …. │x_m⁽ⁿ⁾ - a│< ε bo’ladi
bu esa

ekanligini bildiradi.

Shunday qilib {xⁿ} ketma-ketlik limitga ega va uning limiti a bo’lsa uning koordinatlaridan tuzilgan {x₁⁽ⁿ⁾}, {x₂⁽ⁿ⁾}, … {x_m⁽ⁿ⁾} ketma-ketlik ham limitga ega va ular mos ravishda a ning koordinatlariga teng.

Demak

Endi fazoda {x(n)} ketma-ketlikning koordinatlaridan tashkil topgan {x₁⁽ⁿ⁾}, {x₂⁽ⁿ⁾}, … {x_m⁽ⁿ⁾} sonlar ketma-ketligi limitdga ega va u a nuqtaning mos koordinatlariga teng bo’lsin

Yani

_{U xolda limit ta’rifiga ko’ra}  ε >0 son olinganda ham

<sub>ga ko’ra shunday

n0</sub>⁽¹⁾ є N topiladiki n > n₀⁽¹⁾ lar uchun│x₁⁽ⁿ⁾–a₁│< <sub>n0(2)єN topiladiki

n > n0(2)</sub> lar uchun │x₂⁽ⁿ⁾ – a₂│< <sub>bo’ladi.

Agar n0</sub>= max {n₀⁽¹⁾, n₀⁽²⁾, … n₀^(m)} deb olsak unda barcha n>n₀ uchun bir yo’la │x_i⁽ⁿ⁾ – a_i│< <sub>tengsizliklar bajariladi. U holda



bo’lib,</sub> undan (xⁿ , a)  bo’lishi kelib chiqadi.Bu esa _ekanligini bildiradi. Demak

Yuqoridagi (3) va (4) munosabatlardan

_{ekanligi kelib chiqadi.}

Shunday qilib quyidagi teoremaga kelamiz:

Teorema 1. fazoda {x⁽ⁿ⁾ }={x₁⁽ⁿ⁾x₂⁽ⁿ⁾… x_m⁽ⁿ⁾ } ketma -ketlikning a = (a₁,

a₂,… a_m) є ga intilishi x⁽ⁿ⁾ → a (n→ da) uchun n  da bir yo’la

bo’lishi zarur va eytarli.

Bu teorema fazoda ketma-ketlikning limitini o’rganishni sonli ketma-ketlikning

limitini o’rganishga keltirilishini ifodalaydi. Bayon etilgan teorema hamda sonlar ketma-ketligining hossalaridan fazoda yaqinlashuvchi ketma-ketlikning quyidagi xossalari kelib chiqadi.

fazoda {x(n)} ketma-ketlik berilgan bo’lsin.

1⁰.Agar {x(n)} ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lsa, uning limiti yagonadir.

Agar {x(n)} ketma-ketlikning barcha hadlaridan tuzilgan to’plam chegaralangan bo’lsa, {x(n)} ketma-ketlik chegaralangan ketma-ketlik deyiladi.

Teorema. fazoda {x(n)} ketma-ketlik chegaralangan bo’lishi uchun uning koordinatalaridan tuzilgan {x₁⁽ⁿ⁾}, {x₂⁽ⁿ⁾}, …sonlar ketma-ketligining har biri chegaralangan bo’lishi zarur va yetarlidur.

2⁰. Agar {x(n)} ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lsa, u chegaralangan bo’ladi. Chegaralangan ketma-ketliklar limitga ega bo’lishi ham bo’lmasligi ham mo’mkin

Masalan 1. {(-1)ⁿ⁺¹, (-1)ⁿ⁺¹} ketma-ketlik chegaralangan limitga ega emas

2. {(,n,n)} ketma-ketlik chegaralanmagan

3⁰. Agar {x⁽ⁿ⁾}ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lib, uning limiti a bo’lsa u holda

{α x⁽ⁿ⁾} ketma-ketlik yaqinlashuvchi va uning limiti αa ga teng bo’ladi.

4⁰. {x(n)} va {y⁽ⁿ⁾} ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib ularning limiti a va b

bo’lsa

{x⁽ⁿ⁾±y⁽ⁿ⁾} ketma-ketlik yaqinlashuvchi va uning limiti a ± b ga teng bo’ladi:

5⁰. Agar a nuqta M  to’lamning limit nuqtasi bo’lsa M dan a ga intiluvchi

{x(n)} ketma-ketlik ajratish mumkin.