Mavzu: chekli ayirmali sistemalarni uch diagonalli sistemaga keltirish va progonka usuli topshirdi xushmurodov hasan

Birinchi chegaraviy masalani yechish. Biz endi tebranish tenglamasi uchun sohada ushbu birinchi chegaraviy masalani ko’rib chiqamiz. Yani sohada ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi funksiyani topish kerakki , bu sohada u

tenglamani qanoatlantirib, to’g’ri chiziqda

dastlabki shartlarni va

Chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin. Bu maslani to’r metodi bilan yechish uchun ushbu

To’rni kiritamiz va 1.3-chizmadagidek uch qatlamli andaza bo’yicha differensial tenglamani dagi ayirmali sxema bilan almashtiramiz, bu yerda quyidagi qiymatlarni qabul qiladi:

Dastlabki shartlar uchun formuladan foydalanamiz. Chegaraviy shartlar quyidagicha yoziladi:

Bularning hammasini birlashtirib, ayirmali sxemaning quyidagi hisoblash algoritmiga ega bo’lamiz:



Yuqorida ko’rdikki, bu sxema chegaraviy masalani aniqlikda approksimatsiya qiladi. Ko’rsatish mumkinki, agar ixtiyoriy uchun qadamlar quyidagi

Shartni qanoatlantirsa , sxema turg’un bo’ladi. Biz buning isbotiga to’xtalib o’tirmaymiz.
Misol. To’r metodi bilan sohada

To’r tenglamasining

Chegaraviy va dastlabki shartlarni qanoatlantiradigan taqribiy yechimi topilsin.
Yechish. Bu yerda deb olamiz. Keyin hamda ligini hisobga olib, formulani quyidagicha yozamiz:

Endi operatorning ko’rinishini e’tiborga olsak, hisoblash uchun quyidagi algoritm hosil bo’ladi:

Hisoblashni faqat uchun bajarsa yetarli bo’ladi, chunki yechimning grafigi tekislikka nisbatan simmetrik ravishda joylashgan.