Mavzu: chekli ayirmali sistemalarni uch diagonalli sistemaga keltirish va progonka usuli topshirdi xushmurodov hasan

2.Chekli ayirmalar usuli haqida tushunchalar
Xususiy hosilali differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullaridan biri bu
to’rlar usulidir.Bu usulning g’oyasi quyidagicha.Soddalik uchun ikki o’zgaruvchili
funksiya uchun o’lchami bir birlikli kvadrat sohada chegaraviy masalaning
yechimini toppish haqida tushunchalar keltiramiz. Umuman olganda xvay
koordinatalar bo’yicha to’r qadamlari har xil bo’lishi mumkin.

Ta’rifga ko’ra xususiy hosila quyidagiga teng:

Agar u(x,y) funksiyani tadqiqot sohasi to’rining tugunlaridagina qarasak, u

holda xususiy hosilalar quyidagicha yoziladi:
bu yerda (i,j) – tadqiqot sohasining (x,y) nuqtasiga mos keluvchi tugun.Bu ifoda
o’ng chekli ayirma deb ataladi. Bu formulaning bunday atalishiga sabab unda
funksiyaning tadqiqot nuqtasi va undan o’ngdagi nuqtalardagiqiymatlaridan
foydalanilganligida. Xuddi shunday tadqiqit nuqtasi va undan chapdagi nuqtadagi
fuksiya qiymatlaridan foydalansak, u holda chap chekli ayirma deb ataluvchi
quyidagi formulaga kelamiz:
Shu jarayonni davom ettirib, ikkinchi tartibli xususiy hosila uchun markaziy
chekli ayirmali formulani hosil qilamiz:
Bu formulada simmetrik nuqtalardagi funksiya qiymatlaridan
foydalanildi.Aslida bu formula nosimmetrik nuqtalar uchun ham yozilishi mumkin
(masalan, bir tomonlama hosila).
Ayirmali tenglama hosil qilish uchun aniqmas koeffisientlar metodi. Yuqoridagi differensial tenglamani nuqtada ayirmali tenglama bilan almashtirganda har bir xususiy hosilali alohida-alohida bo’lingan ayirmalar bilan almashtirgan edik. Differensial tenglamani to’laligicha ayirmali tenglama bilan almashtirish mumkin. Hozir qaraladigan metodda to’r soha to’g’ri to’rtburchakdan iborat bo’lishi shart emas, to’r uchburchaklar , parallelogramlardan iborat yoki umuman notekis bo’lishi ham mumkin. Differensial tenglamani tugunda ayirmali sxema bilan almashtirish uchun tugun atrofini ma’lum tartibda joylashgan P ta tugunni qaraymiz. Qulay bo’lishi uchun tugunni orqali belgilab , qolgan tugunlarni orqali belgilaymiz. Endi aniqmas koeffisientlar bilan ushbu

chiziqli kombinatsiyani tuzamiz, bunda miqdor ning tugundagi qiymati. Faraz qilaylik , funksiya tartibli hosilalarga ega bo’lsin, u holda larni tugun atrofida Teylor qatoriga yoyamiz:

Bu ifodalarni ga qo’yib , funksoyaning bir xil hosilalari oldidagi koeffisientlarni qo’shib chiqamiz, natijada

Bu yerda koeffisientlar lar orqali chiziqli ravishda ifodalanadi. Qoldiq had esa ko’rinishga ega bo’ladi, bunda qandaydir son bo’lib, bog’liq emas; ning o’zi esa tugun va tugunlar koordinatalari ayirmalarining moduli bo’yicha eng kichigi hamda

Endi G sohada tartibli uzluksiz hosilaga ega bo’lgan har qanday funksiya uchun

tenglikning bajarilishini talab qilamiz. Buning uchun koeffisientlarni shunday tanlashimiz kerakki , shartni qanoatlantiruvchi barcha uchun tenglikning chap va o’ng tomonlarida oldidagi koeffisientlar ustma-ust tushsin. Bu esa noma’lum koeffisientlarga nisbatan quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga olib keladi:

…………………………….

Agar bu sistema yechimga ega bo’lib, yechim (j=0,1,….,P) bo’lsa, u holda

Endi qoldiq hadni tashlab yuborib, ning to’r ustidagi taqribiy qiymati uchun ushbu

Ayirmali tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglama differensial tenglamani tugunda aniqlikda almashtiradi.
Chegaradan uzoqroq ichki tugunlar uchun ayirmali tenglamani tuzishda qatnashadigan tugunlarining joylanishini dagidek saqlash maqsadga muvofiq bo’ladi. Chegaraga yaqin tugunlar uchun bu holatni saqlash har doim ham mumkin bo’lavermaydi. Ammo qaralayotga metodda tugunlarni biroz boshqacha joylashtirib , differensial tenglamani kerakli aniqlikda ayirmali tenglama bilan almashtirish mumkin. Bu metod chegaraviy shartlarni approksimatsiya qilish uchun yaxshi natujaga olib keladi.