Mavzu: chekli ayirmali sistemalarni uch diagonalli sistemaga keltirish va progonka usuli topshirdi xushmurodov hasan

1-lemma. Faraz qilaylik , miqdorlar to’r ustida aniqlangan qandaydir funksiya bo’lsin. Agar sohaning tugunlarida shart bajarilsa , u holda o’zining eng katta qiymatini ning chegarasida , yani da qabul qiladi.
Isboti. Teskarisini faraz qilamiz. Aytaylik , o’zining eng katta qiymatini ichki nuqtada qabul qilsin. Umuman aytganda , shunday nuqtalar ko’p bo’lishi mumkin. Ular orasida shunday tugunni tanlaymizki, qiymatlarning birortasida dan qat’iyan kichik , masalan, bo’lsin. U holda tugunda quyidagiga ega bo’lamiz:

chunki bo’lib, qolgan kichik qavslar ichidagi ifoda musbat emas, tengsizlik esa lemma shartiga ziddir. Demak , bizning farazimiz noto’g’ri ekan. Shu bilan lemma isbotlandi.
2-lemma. Faraz qilaylik, miqdorlar to’r ustida aniqlangan qandaydir funksiya bo’lsin. Agar ning tugunlarida shart bajarilsa , u holda o’zining eng kichik qiymatini ning chegarasida , yani da qabul qiladi.
Teorema.(maksimum prinsipi). Faraz qilaylik , miqdorlar da aniqlangan bo’lib, tugunlarda

Tenglamalarni qanoatlantirsin. U holda o’zining modul bo’yicha eng katta qiymatini chegarada qabul qiladi.
Teoremaning isboti 1- va 2- lemmalardan kelib chiqadi.
Boshqa chegaraviy shartlarda tenglama uchun to’r metodining turg’unlik masalasini [3,8,9] da ko’rish mumkin.
1.4. Parabolitik tenglamalar uchun ayirmali sxemalar
sohada ushbu

Parabolitik tenglamaning (issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasining)

Dastlabki shart va

Chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan yechimini topish talab qilinsin. Bu yerda -berilgan funksiyalar. Ma’lumki - masalaning yechimi mavjud va yagona. barcha kerakli hosilalarga ega deb faraz qilamiz.
O’zgaruvchan koeffisisentli issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini yechish. Koeffisientlari o’zgaruvchan bo’lgan quyidagi issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masalani qaraylik:

Bunda yetarlicha silliq funksiyalar bo’lib,

Shartlarni qanoatlantirsin. Har bir belgilangan uchun nuqtada differensial ifodani

Ayirmali nisbat bilan approksimatsiya qilamiz. Bunda koeffisient balans metodidagidek ikkinchi tartibli approksimatsiya shartlarini qanoatlantirishi kerak:

Balans metodida ko’rganimizdek, ni quyidagi

Formulalarning birortasi bilan hisoblasak, munosabatlar o’rinli bo’ladi. Shunday qilib, differensial tenglamaga ushbu vazniy ayirmali masala mos keladi:

Bunda bo’lsa , u holda sxema approksimatsiyaning xatoligi bo’lib, bo’lganda bo’ladi. Shunday qilib , biz oshkormas sxemaga ega bo’ldik. Bu sistemani yechish uchun haydash metodini qo’llash mumkin. Ayirmali sxemaning turg’unligini tekshirishda , oldingi bandlarda qaraganlarimizdan tashqari, koeffisientlarni muzlatish prinsipi ham ishlatiladi. Bu prinsip o’zgaruvchan koeffisientli masalani o’zgarmas koeffisientli masalaga keltiradi. Misol uchun sxemada deb olib, quyidagi oshkor sxemani qaraymiz:

Faraz qilaylik , koeffisientlar o’zgarmas bo’lsin, yani . U holda tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

Yoki

Ma’lumki, bu oshkor sxema bo’lganda, yani

Bo’lganda turg’un bo’ladi.
Koeffisientlarni muzlatish prinsipi shuni tasdiqlaydiki, agar barcha lar uchun

Tengsizlik bajarilsa, u holda sxema turg’un bo’ladi. Agar munosabatlar ma’lum bo’lsa, u holda

Bajarilganda tengsizlik o’rinli bo’ladi. sxemaning turg’unligini qat’iy ravishda asoslashni dan qarash mumkin.
Agar bo’lsa u holda koeffisientlarni muzlatish prinsipidan sxemaning absolyut turg’unligi kelib chiqadi.