Mavzu: Bir jinsli bo’lmagan issiqlik tarqalish tengalmasi uchun Koshi masalasi

Chegaralanmagan sterjenda issiqlik tarqalisi (Koshi masalasi)

Koshi masalasi.Yechimning yagonaligi.Bu paragrfda sirti issiqlik o’tkazmaydigan (izolyatsiyalangan ) chegaralanmagan bir jinsli sterjenda issiqlikning tarqalishi haqidagi fizikaviy masalaning matematik qo’yilishi quydagicha ifodalanadi.
Ushbu issiqlik tarqalish tenglamasi
_{(1)
t>0 yarm tekislikda qaraylik
Koshi masalasi.(1) tenglamaning t>0 yarim tekislikda aniqlangan uzliksiz va quydagi boshlang’ich
(2)
Shartni qanoatlantiruvchi u(x,t) yechim topilsin.Bu yerda berilgan uzliksiz va chegaralangan funksiya.
Qo’yilgan (1)-(2) Koshi masalasi yechimining yagonaligini isbotlaymiz.
1-TEOREMA. Agar (1)-(2) shartlarni qanoatlantiruvchi chegaralangan u(x,t) funksiya mavjud bo’lsa, u holda bu funksiya yagona aniqlanadi.
ISBOT.Faraz qilaylik,u(x,t) yechim qaralayotgan sohada chegaralangan bo’lsin, ya’ni har qanday} uchun shunday musbat son M mavjudki, bo’lsin.
(1)-(2) Koshi masalasining ikkita va yechimi mavjud bo’lsin.U holda funksiya (1) tenglamani va bir jinsli boshlang’ich shartni qanoatlantiradi va

Bo’ladi.
Soha cheksiz bo’lganligi uchun funksiyaga yuqorida isbotlangan ekstremum prinsipini bevosita qo'llab bodmaydi. Lekin shu prinsipdan foydalanish maqsadida quyidagi chekli
(3)
sohani qaraymiz. Bu yerda L va T ixtiyoriy o ;zgarmaslar. Q sohada yordamchi

funksiya kiritamiz. Bu funksiya (1) tenglamani qanoatlantirishini ko‘rsatish qiyin emas. Shu bilan birga tekshirib ko‘rish osonroq,

Ta’rif-1. Quyidagi
(7)
(8)
shartlarni qanoatlantiruvchi K(x,t) funksiyaga (2) bir jinsli differensial tenglamaning Koshi funksiyasi deyiladi. Bu yerda

Yechimning mavjudligi va yagonaligi haqidagi Koshi teoremasiga asosan (2) differensial tenglamaning Koshi funksiyasi mavjud va yagonadir.
Aytaylik, K(x,t) (2) bir jinsli differensial tenglamaning Koshi funksiyasi bo‘lsin. Agar funksiyalar (2) differensial tenglamaning F.Y.Sni tashkil qilsa quyidagi
(9)
tasvir o‘rinli bo‘ladi. Bu (9) funksiyani (8) boshlang‘ich shartlarga qo‘yib - o‘zgarmaslarning qiymatini topamiz:
(10)
Bu yerda W(t)-Vronskiy determinanti, esa elementning algebraik to‘ldiruvchisi. Shunday qilib (9) va (10) tengliklardan K(x,t) Koshi funksiyasining aniq ko‘rinishini topamiz:
(11)
Teorema-2. Agar K(x,t) funksiya (2) differensial tenglamaning Koshi funksiyasi bo‘lsa, u holda ushbu
(12)
funksiya (1) differensial tenglamaning
(13)
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimi bo‘ladi.
Isbot. Yuqoridagi (12) tenglikni ketma-ket n marta differensiallasak va (8) boshlang‘ich shartlardan foydalansak quyidagi
(14)

munosabatlarga ega bo‘lamiz. Bu tasvirlardan funksiya (13) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirishi kelib chiqadi. Endi (12) va (14) tasvirlardan foydalanib funksiya (1) differinsial tenglamaning xususiy yechimi ekanligini ko‘rsatamiz:

Shunday qilib, (1) differensial tenglamaning umumiy yechimi uchun quyidagi
(15)
Koshi formulasi o‘rinli bo’lar ekan.

4.