Mavzu: Bir jinsli bo’lmagan issiqlik tarqalish tengalmasi uchun Koshi masalasi

Bir jinsli bo’lmagan issiqlik tarqalish tenglamasi

Ushbu paragrafda bir jinsli bo’lmagan issiqlik tarqalish tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masalani qaraymiz.
Chekli sohada
(1)
Issiqlik tarqalish tenglamasi
, (2)
Boshlang’ich va
(3)
Chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi u(x,t) yechimni topamiz.
Bu yerda -berilgan uzliksiz funksiyalar.
Bu masalaning yechimining yagaonaligai ekstremum prinspi yordamida isbotlangan .
Qaralayotgan (1)-(3) masala yechimining mavjudligini bir jinsli chegaraviy shartli masalaga keltirib isbotlaymiz.
Buning uchun , funksiyalarni sinfda bo’lsin ,deb talab qilamiz.U holda (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi

Yordamichi funksiya kiritamiz, ya’ni

Endi (1) tenglamaning (2) boshlamng’ich va (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimni quydagi

Chegaraviy va boshlang’ich shartlarga ega bo’lamiz .Noma’lum v(x,t)funksiyaga nisbatan tenglama esa

Endi biz yuqorida qollagan usulni issiqlik tarqakishning bir jinsli bo’lmagan, ya’ni sterjenda issiqlik manbalari ta’siri kuzatilgan hilga tadbiq etamiz. Bu holda biz

(4)
issiqlik tarqalish tenglamasining
(5)
bir jinsli boshlang’ich shartni hamda
(6)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi va sohada aniqlangan ikkinchi tartibgacha uzluksiz aynan nolga teng bo’lmagan yechimini topishdan iboratdir.
Ushbu masala yechimini oldingi masaladagi Shturm-Liuvill masalasi

xos funksiyalari bo’yicha Fur’e qatori ko’rinishida izlaymiz, ya’ni
. (7)
Xuddi shu kabi (4) tenglama o’ng tomonidagi funksiyani ham  ni hozircha parametr sifatida qarab, Fur’e qatoriga yoyamiz:
. (8)
Bunda
.
Yechimning izlangan (7) ifodasini va funksiyaning (8) ifodasini (4) tenglamaga qo’yib
.
Ikki teng funksiyalar Fur’e koeffisientlari teng bo’lganligi uchun oxirgi tenglamadan
(9)
oddiy differensial tenglamaga kelamiz. Endi (5) boshlang’ich shartlarni qaraymiz.
.
Demak (5) boshlang’ch shart uchun qo’yilgan
(10)
shartga o’tar ekan. (9) birinchi tartibli oddiu chiziqli differensial tenglamaning (18) shartni qanoatlantiruvchi yechimi bizga oddiy differensial tenglamalar kursidan ma’lum bo’lgan formulada yechiladi:
.
ning bu ifodasini (7) ga qo’yib, qo’yilgan (4)-(6) masalaning yechimiga ega bo’lamiz:
.
Ushbu yechimni ning ifodasini o’rniga qo’yish va qator tekis yaqinlashuvchanligiga asosan uni hadlab integrallash mumkin ligidan foydalanib

ko’rinishda yozish mumkin. Bunda
.
Odatda ushbu funksiyani nuqtaviy issiqlik manba funksiyasi deb aytiladi.

3.