Mavzu. Absalyut va shartli yaqinlashuvchi qatorla Reja

9 .1.1 - misol. Ushbu
qatorning qismiy yig'indilari

ga teng.
Demak, bu misolda {Sn} qismiy yig'indilar ketma-ketligi yaqinlashuvchi bo‘lib,uning limiti 1 ga teng ekan. Shuning uchun aynan ana shu sonni berilgan sonli qatorning yig‘indisi deb hisoblash tabiiydir. Shunday qilib, biz sonli qator yig'indisining quyidagi ta’rifini berishimiz mumkin. Ta’rif. Agar (9.1.1) sonli qator qismiy yig'indilaridan tuzilgan ke.tma-ketlik limitga ega bo ‘Isa, u holda bunday qatorni yaqinlashuvchi deymiz. Aksincha, agar qismiy yig‘indilar ketma-ketligining limiti mavjud bo‘lmasa, (9.1.1) qatorni uzoqlashuvchi deymiz. Yaqinlashuvchi sonli qator yig‘indisi deb uning qismiy yig‘indilari limitiga aytamiz

Bunda

deb yozamiz, ya’ni bu tenglikning o‘ng tomonidagi simvolni nafaqat qatorni belgilash uchun, balki, u vaqinlashgan vaqtda, qatorning yig‘indisini belgilash uchun ham ishlatamiz. Odatda, agar (9.1.3) tenglik bajarilsa, (9.1.1) qator S ga yaqinlashadi deyiladi.
4. Bevosita yuqoridagi ta’rifdan yaqinlashuvchi qator hadlarining nolga intilishi kelib chiqadi.
9.1.1 - tasdiq. Agar sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lsa,uning hadlari nolga yaqinlashadi. Haqiqatan, agar (9.1.1) qatorning (9.1.2) tenglik bilan aniqlangan S_n qismiy yig'mdilari S soniga yaqinlashsa,n-∞ deb limitga o'tsak,
a_n = S_n-S_n-1 = (S_n -S) - (S_n-i — S) -> 0,
ya’ni talab qilingan natijaga ega bo‘lamiz. Bu tasdiqning teskarisi o‘rinli emas. Bunga misol sifatida, garmonikqator deb ataluvchi, quyidagi qatorni keltirish mumkin:
Ravshanki, bu qatorning hadlari nolga yaqinlashadi. Lekin, agar biz
bu qatorni

ko'rinishda yozib olib, har bir qavs ichidagi hadlar yig'indisi 1/2dan katta ekanini hisobga olsak,uning qismiy yig'indilari +∞ ga intilishiga amin bo'lamiz.

9.1.2 - misol. Geometrik progressiya hadlaridan tuzilgan quyidagi qatorni qaraymiz:

Agar |q| > 1 bo‘lsa, ravshanki. |qⁿ| > 1 bo‘ladi. Demak, bu holda 9.1.1 - tasdiqqa ko`ra, (9.1.4) qator uzoqlashadi. Agarda |q| > 1 bo'lsa, bu qatorning n-qismiy yig'indisi uchun

formula induksiya usuli orqali oson tekshiriladi. Shuning uchun. |q| < 1 bo;lganda (9.1.4) qator yaqinlashuvchi bo‘lib,uning yig'indisi

ga tengdir.

Navbatdagi tasdiq yaqinlashuvchi qator yig'indisi chiziqlilik xossasiga ega ekanini anglatadi.