Mavzu : Yo’nalish bo’yicha hosila. Gradient Reja: Skalyar maydon tushunchasi

2.2.2-teorema.Regulyar F₁ ,F₂ sirtlar uchun f:F₁ F₂ izometrik akslantirish
19
bo’lsa, dF tenglik o’rinlidir, ya’ni kovariant differensial izometrik akslantirishlarga nisbatan invariantdir.
Isbot.Ixtiyoriy t₀ uchun d
tenglikni isbotlash yetarlidir. Faraz qilaylik, nuqta atrofida F₁ sirt = (u, v) tenglama yordamida aniqlangan va chiziq u=u₁(t), v=u₂(t) tenglamalar bilan berilgan bo’lsin. Endi F₂ sirtni F( nuqta atrofida tenglama yordamida parametrlaymiz. Bu yerda vector F₂ sirtning F ( nuqtasi radius vektoridir. Akslantirish F differensiallanuvchi bo’lganligi uchun differensiallanuvchi vektor funksiyadir. Bu parametrlashda F( ) chiziqni tenglama bilan parametrlasak, F( ) chiziqning F₂ sirt ichki koordinatalaridagi tenglamalari u=u₁(t), v=u₂(t) ko’rinishda bo’ladi. Bizga ma’lumki, d F( (t))( tenglik o’rinli bo’ladi. Undan tashqari biz bilamizki, F izometrik akslantirish bo’lganlanligi uchun F₁ va F₂ sirtlarning yuqoridagi parametrlash usullari bilan aniqlangan birinchi kvadratik formalarining koeffitsiyentlari mos ravishda teng bo’ladi, shuning uchun Kristofel simvollari ham o’zaro teng bo’ladi. Endi
= formuladan

tenglikni hosil qilamiz.
Chunki X(t) urinma vektor uchun X(t)= tenglikdan
Y(t)= tenglik kelib chiqadi.
Natija.Teorema shartlari bajarilganda geodezik chiziq bo’lsa, F( ham
geodezik chiziq bo’ladi va aksincha.
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati
Asosiy adabiyotlar

1. 
   Ya. Narmanov, A. S. Sharipov, J. O. Aslonov. Differensial geometriya
   

va topologiya kursidan masalalar to‘plami. Toshkent, “Universitet” nashriyoti,
2014 yil, 200 bet.

2. 
   M. A. Sobirov, A. Yo. Yusupov. Differensial geometriya kursi. –Toshkent “O‘quvpeddavnashr”, 1959, 422 b