Mavzu : Yo’nalish bo’yicha hosila. Gradient Reja: Skalyar maydon tushunchasi

1
Mavzu : Yo’nalish bo’yicha hosila .Gradient

Reja:
1.Skalyar maydon tushunchasi.
2..Yo`nalish bo`yicha hosila bilan gradient orasidagi bog`lanish.
3. Gradientning differensial xossalari.
4. Invariantlilik.


1.Skalyar maydon tushunchasi.
u = u(x,y,z) skalyar maydon berilgan bo`lsin.

1-rasm


1.1.1.Ta'rif. Skalyar maydonning beril-gan M nuqtadagi gradienti deb, gradu
simvol orqali belgilanadigan va quyidagi tenglikdan aniqlanadigan vektorga aytiladi.

Sath sirtda M nuqtadan o‘tuvchi ixtiyoriy biror L chiziq joylashgan bo'lib uning parametrik tenglamasi r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k ko‘rinishda bo'lsin. Radius vektor differensiali dr(t) = r(t + dt)-r(t) L chiziq bo'ylab cheksiz kichik siljishni aniqlaydi. Sath sirtda du = 0 bolganligidan

Bundan grad« 1 dF kelib chiqadi. L chiziqning ixtiyoriyligidan M nuqta- dagi
6
gradient sath sirtga ortogonal ekanligi kelib chiqadi (2- rasm).
Ko’p hollarda berilgan masala yechimini soddalashtirish, chiziq tenglamasini ixcham va qulay ko’rinishda yozish uchun berilgan XOY Dekart koordinatalar sistemasidan boshqa bir X' O' Y' Dekart koordinatalar sistemasiga o’tishga to’g’ri keladi. Bunda quyidagi uch hol bo’lishi mumkin.
I hol. Koordinatalar sistemasini parallel ko’chirish
Bunda berilgan XOY koordinatalar sistemasining O(0;0) biror O'(x₀;y₀) nuqtaga parallel ko’chiriladi. Bunda Ox va Oy o’qlarning yo’nalishi va holati o’zgarmay qoladi va shu sababli bu yangi hosil bo’lgan sistemani x'O'y' kabi belgilaymiz.(1-rasm)



2-rasm.
Bu eski x O y sistemadagi x va y koordinatalar bilan yangi x'O'y' sistemadagi x' va y' koordinatalar orasidagi bog’lanish
7
, , ,
formulalar bilan hisoblanadi.