Mavzu : Stoks formulasi: Reja: I. Kirish : II. Assosiy qism: Birinchi tur sirt integrallari

 
Isbot. 
(S) sirtning 
s
P
bo ‘linishini olaylik , uning bo‘laklarini 
1
2
( ), (
),....., (
)
n
S
S
S
bo'lsin. Bu sirt va uning bo'laklarining Oxy tekislikdagi proeksiyasi 
(D) sohaning 
D
P
bo'laklashni va uning 
1
2
(
), (
).........., (
)
n
D
D
D
bo ‘laklarni hosil qiladi.
s
P
bo ‘laklashiga nisbatan ushbu yig ‘indini tuzamiz: 
1
f
,
)
n
k
k
k
k
k
D

=
=
(   

Agar (S) sirtning ustki tomoni qaraliyotgan bo ‘lsa , u holda barcha 
k
D
lar musbat 
bo ‘ladi . 

---

Modomiki, f(x,y,z) funksiya z=z(x,y) sirtda berilgan ekan , u x va y 
o‘zgaruvchilarning quydagi funksiyaga aytlanadi. 
f(x,y,z)=f(x,y,z(x,y)) 
bundan esa 
(
)
,
k
k
k
z

 
=
(k=1,2,3…..) 
Bo ‘lishi kelib chiqadi.Natijada (5) yig ‘indi ushbu
1
f
,
, (
,
))
n
k
k
k
k
k
k
z
D

=
=
( 
  

Ko ‘rinishga keladi.bu yig ‘indi f(x,y,z(x,y)) funksiyaning integral yig ‘indisi 
ekani payqash qiyin emas Agar f(x,y,z(x,y))funksiyaning (D)da uzluksiz 
ekanligini e’tiborga olsak,unda 
0
D
p

→
da
1
f
,
, (
,
))
n
k
k
k
k
k
k
z
D
=
( 
  

Yig ‘indi chekli limitga ega bo ‘ladi va 
0
1
(D)
lim
f
,
, (
,
))
(x, y, z(x, y))
PD
n
k
k
k
k
k
k
z
D
f
dxdy

→
=
( 
  
=


Bundan esa 
( )
(S)
(x, y, z)
(x, y, z(x, y))
S
f
dxdy
f
dxdy
=


Bo ‘lishi kelib chiqadi teorema isbot bo ‘ldi. 
Stoks formulasi 
Mazkur punktda Grin formulasining umumlashmasi bo’lgan sirt integrali 
bilan egri chiziqli integralni bog’lovchi formulani keltirib chiqaramiz. 

---

Faraz qilamiz, 
(𝑆)
- sirt silliq va karrali nuqtalarga ega bo’lmasin: U bo’lakli 
silliq 
(𝐿)
kontur bilan chegaralangan bo’lsin. 
(𝑆)
sirtni o’z ichiga oluvchi biror fazoviy sohada
𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)
funksiya 
berilgan bo’lib, u bu sohada o’zining xususiy hosilalari bilan uzluksiz bo’lsin. U 
holda quyidagi
∫ 𝑃𝑑𝑥
(𝐿)
= ∬
𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝑑𝑧𝑑𝑥 −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦
(𝑆)
, (1)
formula o’rinli. 
Avval 
(𝐿)
chiziq bo’yicha egri chiziqli integralni 
(∆)
chiziq bo’yicha 
interalga almashtiramiz: 
∫ 𝑃𝑑𝑥
(𝐿)
= ∫ 𝑃 ∙ (
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝑑𝑢 +
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝑑𝑣)
(∆)
. (2)
Bu tenglikni 
(∆)
chiziqni ushbu 
𝑢 = 𝑢(𝑡), 𝑣 = 𝑣(𝑡) (𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽)
parametric ifodasini, u orqali esa - 
(𝐿)
chiziqnikini 
𝑥 = 𝑥(𝑢(𝑡), 𝑣(𝑡)), 𝑦 = 𝑦(𝑢(𝑡), 𝑣(𝑡)),
𝑧 = 𝑧(𝑢(𝑡), 𝑣(𝑡))
kiritib, oson tekshirish mumkin. U holda ikkala integral bitta o’sha parameter 
bo’yicha oddiy integralga keladi: 
∫ 𝑃 ∙ (
𝜕𝑥
𝜕𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑡
+
𝜕𝑥
𝜕𝑣
∙
𝑑𝑣
𝑑𝑡
) 𝑑𝑡
𝛽
𝛼
.
Endi (2) ni o’ng tomonidagi integralga Grin formulasini qo’llaymiz: 

---

∫ 𝑃 ∙ (
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝑑𝑢 +
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝑑𝑣)
(∆)
= ∬ {
𝜕
𝜕𝑢
(𝑃
𝜕𝑥
𝜕𝑣
) −
𝜕
𝜕𝑣
(𝑃
𝜕𝑥
𝜕𝑢
)} 𝑑𝑢𝑑𝑣
(∆)
. (3)
Oxirgi integral ostidagi ifodadan qyuidagini olamiz: 
𝜕
𝜕𝑢
(𝑃
𝜕𝑥
𝜕𝑣
) −
𝜕
𝜕𝑣
(𝑃
𝜕𝑥
𝜕𝑢
) =
= (
𝜕𝑃
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑢
+
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑢
+
𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑢
)
𝜕𝑥
𝜕𝑣
+ 𝑃
𝜕
2
𝑥
𝜕𝑣𝜕𝑢
−
− (
𝜕𝑃
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑣
+
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑣
+
𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑣
)
𝜕𝑥
𝜕𝑢
− 𝑃
𝜕
2
𝑥
𝜕𝑣𝜕𝑢
=
=
𝜕𝑃
𝜕𝑧
(
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
−
𝜕𝑧
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑢
) −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
(
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
−
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
).
Endi buni (3) tenglikka qo’ysak, ushbu ikki karrali integralga kelamiz: 
∬ {
𝜕
𝜕𝑢
(𝑃
𝜕𝑥
𝜕𝑣
) −
𝜕
𝜕𝑣
(𝑃
𝜕𝑥
𝜕𝑢
)} 𝑑𝑢𝑑𝑣
(∆)
= ∬ {
𝜕𝑃
𝜕𝑧
(
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
−
𝜕𝑧
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑢
) −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
(
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
−
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
)} 𝑑𝑢𝑑𝑣
(∆)
=
= ∬ {
𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝐵 −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝐶} 𝑑𝑢𝑑𝑣
(∆)
. (4)
Ushbu
∬ 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦
(𝑆)
=
= ∬(𝑃𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑄𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑅𝑐𝑜𝑠𝛾)𝑑𝑆
(𝑆)
,

---

bu yerda (S) sirt tomoniga mos yo’naltiruvchi kosinuslar, formula ikkinchi va 
birinchi tur sirt integrallarini bog’lovchi umumiy formula bo’lib, bizga ma’lumki, 
sirtning tanlangan tomonini xarakterlovchi, yonaltiruvchi kosinuslar, quyidagi 
formulalar orqali aniqlanadi 
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝐴
+√𝐴
2
+ 𝐵
2
+ 𝐶
2
,
𝑐𝑜𝑠𝛽 =
𝐵
+√𝐴
2
+ 𝐵
2
+ 𝐶
2
,
𝑐𝑜𝑠𝛾 =
𝐶
+√𝐴
2
+ 𝐵
2
+ 𝐶
2
.
Boshqa tomondan 
𝑢, 𝑣
parametrlar bo’yicha ikki karrali integralga o’tishda,
𝑑𝑆
elementni
+√𝐴
2
+ 𝐵
2
+ 𝐶
2
𝑑𝑢𝑑𝑣
ifoda bilan almashtiriladi. Nihoyat, ushbu
∬ 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦
(𝑆)
= ∬(𝐴𝑃 + 𝐵𝑄 + 𝐶𝑅)𝑑𝑢𝑑𝑣
(𝑆)
. (4′)
O’ng tomonda,
𝑃, 𝑄, 𝑅
funksiyalarda 
𝑥, 𝑦, 𝑧
o’rniga ularning 
𝑢, 𝑣
orqali ifodalari 
qo’yilgan deb faraz qilinadi. 
(4’) formulaga asosan, 
∬ {
𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝐵 −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝐶} 𝑑𝑢𝑑𝑣
(∆)
ikki karrali integralni sirtni tanlangan tomoni bo’yicha olingan
∬
𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝑑𝑧𝑑𝑥 −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦
(𝑆)
sirt integraliga oson almashtirish mumkin. Shu bilan (1) tenglik isbotlandi. 
Xuddi shunga o’xshash, quyidagi tengliklarni olamiz:

---

∫ 𝑄𝑑𝑦
(𝐿)
= ∬
𝜕𝑄
𝜕𝑥
𝑑𝑥𝑑𝑦 −
𝜕𝑄
𝜕𝑧
𝑑𝑦𝑑𝑧
(𝑆)
, (1′)
∫ 𝑅𝑑𝑧
(𝐿)
= ∬
𝜕𝑅
𝜕𝑦
𝑑𝑦𝑑𝑧 −
𝜕𝑅
𝜕𝑥
𝑑𝑧𝑑𝑥
(𝑆)
, (1
′′
)
bu yerda
𝑄, 𝑅
– 
𝑥, 𝑦, 𝑧
ga bog’liq yangi funksiyalar bo’lib, ular 
𝑃
funksiyaga 
qo’yilgan shartlarni qanoatlantiradi.
(1), 
(1′)
va
(1
′′
)
uchala tengliklarni qo’shib, quyidagi nisbatan umumiy 
ko’rinishdagi formulani olamiz: 
∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧
(𝐿)
=
= ∬ (
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
) 𝑑𝑥𝑑𝑦 + (
𝜕𝑅
𝜕𝑦
−
𝜕𝑄
𝜕𝑧
) 𝑑𝑦𝑑𝑧 + (
𝜕𝑃
𝜕𝑧
−
𝜕𝑅
𝜕𝑥
) 𝑑𝑧𝑑𝑥
(𝑆)
. (5)
Bu tenglik 
Stoks formulasi
deyiladi. 
Agar 
(𝑆)
sirtning bo’lagi sifatida 
𝑥𝑦
tekislikdagi 
(𝐷)
soha olinsa, 
𝑧 = 0
bo’lib, u holda quyidagi formula hosil qilinadi 
∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦
(𝐿)
=
= ∬ (
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
) 𝑑𝑥𝑑𝑦
(𝐷)
,
bu esa ma’lumki, Grin formulasidir. Shunday qilib, oxirgi formula Stoks 
formulasining xususiy holidan iborat. 

---

Nihoyat, Stoks formulasida ikkinchi tur sirt integrali birinchi tur sirt integrali 
bilan almashtirlishi mumkin. U holda bu formula quyidagi
∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧
(𝐿)
=
= ∬ [(
𝜕𝑅
𝜕𝑦
−
𝜕𝑄
𝜕𝑧
) 𝑐𝑜𝑠𝛼 + (
𝜕𝑃
𝜕𝑧
−
𝜕𝑅
𝜕𝑥
) 𝑐𝑜𝑠𝛽 + (
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
) 𝑐𝑜𝑠𝛾] 𝑑𝑆
(𝑆)
,
ko’rinishga ega bo’lib, 
𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛽, 𝑐𝑜𝑠𝛾
sirtni tanlangan tomoniga mos 
normalning yo’naltiruvchi kosinuslari. 
Shunday qilib, Stoks formulasi (S) sirt bo’yicha olingan II-tur sirt integrali 
bilan shu sirtning chegarasi bo’yicha olingan egri chiziqli integralni bog’lovchi 
formuladir. 
Stoks formulasini qo’llashga misol keltiramiz. 
Misol.
𝑃 = 𝑦
2
+ 𝑧
2
, 𝑄 = 𝑧
2
+ 𝑥
2
, 𝑅 = 𝑥
2
+ 𝑦
2
bo’lsin.
(𝑆)
sirt sifatida
𝑥
2
+ 𝑦
2
+ 𝑧
2
= 2𝑅𝑥(𝑅 > 𝑟, 𝑧 > 0)
sferadan 
𝑥
2
+ 𝑦
2
= 2𝑟𝑥
silindr bilan kesilgan olamiz. 
Egri chiziqni ushbu 
𝑥 = 𝑟(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡), 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝑡, 𝑧 = √2𝑟(𝑅 − 𝑟)√1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡(0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋)
parametrik ifodasiga o’tib, egri chiziqli integral uchun oddiy integral ko’rinishdagi 
yetarlicha murakkab ifodani topamiz: 

---

𝐼 = ∫ {[𝑟
2
𝑠𝑖𝑛
2
𝑡 + 2𝑟(𝑅 − 𝑟)(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡)](−𝑟𝑠𝑖𝑛𝑡)
2𝜋
0
+ [2𝑟(𝑅 − 𝑟)(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡) + 𝑟
2
(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡)
2
]𝑟𝑐𝑜𝑠𝑡
+ [𝑟
2
(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡)
2
+ 𝑟
2
𝑠𝑖𝑛
2
𝑡] ∙
1
2
√
2𝑟(𝑅 − 𝑟)
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡
(−𝑠𝑖𝑛𝑡)} 𝑑𝑡.
Figurali qavslardagi 
𝑑𝑡
ga ko’paytirilgan 1- va 3- qo’shiluvchilar 
𝑓(𝑐𝑜𝑠𝑡)𝑑𝑐𝑜𝑠𝑡
ko’rinishga ega bo’lib, ulardan olingan integral kosinusni davriyligiga asosan, 
nolga teng:
∫ {[𝑟
2
𝑠𝑖𝑛
2
𝑡 + 2𝑟(𝑅 − 𝑟)(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡)](−𝑟𝑠𝑖𝑛𝑡) + [𝑟
2
(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡)
2
+ 𝑟
2
𝑠𝑖𝑛
2
𝑡]
2𝜋
0
∙
1
2
√
2𝑟(𝑅 − 𝑟)
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡
(−𝑠𝑖𝑛𝑡)} 𝑑𝑡 =
= ∫ {[𝑟
2
(1 − 𝑐𝑜𝑠
2
𝑡) + 2𝑟(𝑅 − 𝑟)(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡)]𝑟
2𝜋
0
+ [𝑟
2
(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡)
2
+ 𝑟
2
(1 − 𝑐𝑜𝑠
2
𝑡)] ∙
1
2
√
2𝑟(𝑅 − 𝑟)
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡
} 𝑑(𝑐𝑜𝑠𝑡) = 0,
ikkinchi integral esa
∫ [2𝑟(𝑅 − 𝑟)(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡) + 𝑟
2
(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡)
2
𝑟𝑐𝑜𝑠𝑡]𝑑𝑡
2𝜋
0
= 2𝜋𝑅𝑟
2
.
Shunday qilib,
𝐼 = 2𝜋𝑅𝑟
2
.

---

𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= 𝑥 − 𝑦,
𝜕𝑅
𝜕𝑦
−
𝜕𝑄
𝜕𝑧
= 𝑦 − 𝑧,
𝜕𝑃
𝜕𝑧
−
𝜕𝑅
𝜕𝑥
= 𝑧 − 𝑥
ekanini hisoba olib, quyidagi 
2 ∬(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 + (𝑦 − 𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧 + (𝑧 − 𝑥)𝑑𝑧𝑑𝑥
(𝑆)
2- tur sirt integralini avval 1-tur integralga almashtiramiz: 
2 ∬(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 + (𝑦 − 𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧 + (𝑧 − 𝑥)𝑑𝑧𝑑𝑥
(𝑆)
=
= 2 ∬[(𝑦 − 𝑧)𝑐𝑜𝑠𝛼 + (𝑧 − 𝑥)𝑐𝑜𝑠𝛽 + (𝑥 − 𝑦)𝑐𝑜𝑠𝛾]𝑑𝑆
(𝑆)
.
 
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑥 − 𝑅
𝑅
,
𝑐𝑜𝑠𝛽 =
𝑦
𝑅
,
𝑐𝑜𝑠𝛾 =
𝑧
𝑅
bo’lgani uchun, u holda bu ifodalarni o’rniga qo’yib, keying qisqartirishlarni 
bajaramiz va quyidagi ko’rinishdagi integralga kelamiz: 
2 ∬[(𝑦 − 𝑧)𝑐𝑜𝑠𝛼 + (𝑧 − 𝑥)𝑐𝑜𝑠𝛽 + (𝑥 − 𝑦)𝑐𝑜𝑠𝛾]𝑑𝑆
(𝑆)
=
= 2 ∬ [(𝑦 − 𝑧)
𝑥 − 𝑅
𝑅
+ (𝑧 − 𝑥)
𝑦
𝑅
+ (𝑥 − 𝑦)
𝑧
𝑅
] 𝑑𝑆
(𝑆)
=
= 2 ∬(𝑧 − 𝑦)𝑑𝑆
(𝑆)
.
Sirtni
𝑥𝑧
tekislikka nisbatan simmetikligiga ko’ra,

---

∬ 𝑦𝑑𝑆
(𝑆)
= 0.
Qolgan integralni yana 2-tur integralga almashtiramiz: 
2 ∬(𝑧 − 𝑦)𝑑𝑆
(𝑆)
= 2 ∬ 𝑧𝑑𝑆
(𝑆)
= 2𝑅 ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦
(𝑆)
= 2𝜋𝑅𝑟
2
.
Xulosa 
(x, y, z)
f
funksiya
(S)
sirtda 
3
((S)
R )

berilgan bo'lsin. Bu sirtning P 
bo‘laklashni va bu bo'laklashning har bir,
(S )
k
bo ‘lagida 
(k
1, 2, 3,......... )
n
=
ixtiyoriy 
,
)
k
k
k
(  
nuqtadagi
f
,
)
k
k
k
(  
qiymatini 
(S )
k
ning 
S
k
yuziga ko'paylirib. quyidagi 
yig'indini tuzamiz: 
1
f
,
) S
n
k
k
k
k
k

=
=
(   

1-ta'rif
. Ushbu 
1
f
,
) S
n
k
k
k
k
k

=
=
(   

(1) 
yig ‘indi
(x, y, z)
f
funksiyaning integral yig’indisi yoki Riman yig’indisi deb 
ataladi.
(S)
sirtning shunday
1
2
3
,
,
,........
,.....
m
P P P
P
(2) 
Bo ‘linishlarni qaraymiz ,ularning mos diametrlaridan tashkil topgan
1
2
3
,
,
,......
,.....
m
P
P
P
P
  

Ketma –ketlik nolga intilsin .
0
m
P

→
Bundan 
(m 1, 2,3,......)
m
P
=
bo ‘linishlarga 
nisbatan 
(x, y, z)
f
funksiyaning integral yig ‘indilarni tuzamiz.Natijada 
(S)
sirtning 
(2) bo ‘linishlarga mos integral yig ‘indilar qiymatlaridan iborat quydagi ketma-

---

ketlik hosil bo ‘ladi. 
1
2
,
,.......
,......
m
 

Stoks formulasi haqida ma’lumotga ega bo ‘ldim va unga doir misol ishladim.