Mavzu : Stoks formulasi: Reja: I. Kirish : II. Assosiy qism: Birinchi tur sirt integrallari

---

Mavzu :Stoks formulasi: 
Reja: 
I.
 
Kirish : 
II. Assosiy qism: 
1.
 
Birinchi tur sirt integrallari. 
2.
 
Ikkinchi tur sirt integrallari. 
3.
 
Stoks formulasi. 
III. Xulosalar: 
IV.
 
 Foydalanilgan adabiyotlar.
Kirish 
Matematik analiz kursida birinchi tur sirt integrallari ,iikinchi tur sirt 
integrallari va stoks formulasiga duch kelamiz
. 
(x, y, z)
f
funksiya
(S)
sirtda 
3
((S)
R )

berilgan bo'lsin. Bu sirtning P 
bo‘laklashni va bu bo'laklashning har bir,
(S )
k
bo ‘lagida 
(k
1, 2, 3,......... )
n
=
ixtiyoriy 
,
)
k
k
k
(  
nuqtadagi
f
,
)
k
k
k
(  
qiymatini 
(S )
k
ning 
S
k
yuziga ko'paylirib. quyidagi 
yig'indini tuzamiz: 
1
f
,
) S
n
k
k
k
k
k

=
=
(   

1-ta'rif
. Ushbu 
1
f
,
) S
n
k
k
k
k
k

=
=
(   

(1) 
yig ‘indi
(x, y, z)
f
funksiyaning integral yig’indisi yoki Riman yig’indisi deb 
ataladi.
(S)
sirtning shunday
1
2
3
,
,
,........
,.....
m
P P P
P
(2) 

---

Bo ‘linishlarni qaraymiz ,ularning mos diametrlaridan tashkil topgan
1
2
3
,
,
,......
,.....
m
P
P
P
P
  

Ketma –ketlik nolga intilsin .
0
m
P

→
Bundan 
(m 1, 2,3,......)
m
P
=
bo ‘linishlarga 
nisbatan 
(x, y, z)
f
funksiyaning integral yig ‘indilarni tuzamiz.Natijada 
(S)
sirtning 
(2) bo ‘linishlarga mos integral yig ‘indilar qiymatlaridan iborat quydagi ketma-
ketlik hosil bo ‘ladi. 
1
2
,
,.......
,......
m
 

 
 
 
 
Birinchi tur sirt integrallari 
(x, y, z)
f
funksiya
(S)
sirtda 
3
((S)
R )

berilgan bo'lsin. Bu sirtning P 
bo‘laklashni va bu bo'laklashning har bir,
(S )
k
bo ‘lagida 
(k
1, 2, 3,......... )
n
=
ixtiyoriy 
,
)
k
k
k
(  
nuqtadagi
f
,
)
k
k
k
(  
qiymatini 
(S )
k
ning 
S
k
yuziga ko'paylirib. quyidagi 
yig'indini tuzamiz: 
1
f
,
) S
n
k
k
k
k
k

=
=
(   

1-ta'rif
. Ushbu 
1
f
,
) S
n
k
k
k
k
k

=
=
(   

(1) 
yig ‘indi
(x, y, z)
f
funksiyaning integral yig’indisi yoki Riman yig’indisi deb 
ataladi.
(S)
sirtning shunday
1
2
3
,
,
,........
,.....
m
P P P
P
(2) 
Bo ‘linishlarni qaraymiz ,ularning mos diametrlaridan tashkil topgan
1
2
3
,
,
,......
,.....
m
P
P
P
P
  

Ketma –ketlik nolga intilsin .
0
m
P

→
Bundan 
(m 1, 2,3,......)
m
P
=
bo ‘linishlarga 
nisbatan 
(x, y, z)
f
funksiyaning integral yig ‘indilarni tuzamiz.Natijada 
(S)
sirtning 

---

(2) bo ‘linishlarga mos integral yig ‘indilar qiymatlaridan iborat quydagi ketma-
ketlik hosil bo ‘ladi. 
1
2
,
,.......
,......
m
 

2-ta’rifma-ketligi.
Agar (S) sirtning har qanday (2) bo ‘linishlar ketma-ketligi 
 
m
P
olinganda ham unga mos integral yig ‘indi qiymatlaridan iborat 
 
m

ketma –ketlik 
,
)
k
k
k
(  
nuqtalarni tanlab olinishiga bog ‘liq bo ‘lmagan holda, 
hamma vaqt bitta I songa intilsa,bu I 

yig ‘indining limiti deb ataladi va u 
0
0
1
lim
lim
f
,
) S
p
p
n
k
k
k
k
k
I



→
→
=
=
(   
=

(3) 
Kabi belgilanadi. 
Integral yig ‘indining limitini quydagich ham ta’riflash mumkin. 
3-ta’rif.
Agar 
0

 
son olinganda ham ,shunday
0


topilsaki,(S) sirtning 
diametri 
p



bo ‘lgan har qanday bo ‘linishi hamda har bir 
(S )
k
bo ‘lakdan 
olingan ixtiyoriy 
,
)
k
k
k
(  
lar uchun
I


− 
Tengsizlik bajarilsa , u holda I son 

yig ‘indining limiti deb ataladi va (3) kabi 
belgilanadi. 
4-ta’rif.
Agar 
0
p

→
da f(x,y,z) funksiyaning integral yig ‘indisi 

chekli 
limitga ega bo ‘lsa f(x,y,z ) funksiya (S) sirtning bo ‘yich integrallanuvchi (Riman 
ma’nosida integrallanuvchi )funksiya deb ataladi. Bu yig ‘indining chekli limiti I 
esa ,f(x,y,z) funksiyaning birinchi tur sirt integrali deyiladi va u
(S)
(x, y, z) ds
f


---

Kabi belgilanadi.Demak , 
(S)
(x, y, z) ds
f

0
0
0
1
lim
lim
lim
f
,
) S
p
p
p
n
k
k
k
k
k





→
→
→
=
=
=
=
(   

Endi birinchi tur sirt integralining mavjud bo ‘lishini ta’minlaydigan shartni 
toppish bilan shug ‘ulanamiz. 
Faraz qilaylik 
3
R
fazodagi (S) sirt
z=z(x,y) 
tenglama bilan berilgan bo ‘lsin .Bunda z=z(x,y) funksiya chegaralangan yopiq (D) 
sohada
2
((D)
)
R

uzluksiz va 
( )
( )
'
'
,
,
,
x
y
z
z x y
z
z x y
=
=
hosilalarga ega hamda bu 
hosilalar ham (D)da uzluksiz. 
1-teorema. 
Agar f(x,y,z) funksiya (S) sirtda berilgan va uzluksiz bo ‘lsa , u 
holda bu fuksiyaning (S) sirt bo ‘yicha birinchi tur sirt integrali
( )
(x, y, z)
S
f
ds

mavjud va
' 2
' 2
( )
(D)
(x, y, z)
(x, y, z(x, y)) 1
(x, y)
(x, y)
x
y
S
f
ds
f
z
z
dxdy
=
+
+


bo ‘ladi. 
Isbot. 
(S) sirtning 
s
P
bo ‘linishini olaylik, uning bo ‘laklarini 
1
2
( ), (
),....., (
)
n
S
S
S
bo'lsin. Bu sirt va uning bo'laklarining Oxy tekislikdagi proeksiyasi (D) sohaning 
D
P
bo'laklashni va uning 
1
2
(
), (
).........., (
)
n
D
D
D
bo ‘laklarni hosil qiladi.
s
P
bo‘laklashiga nisbatan (1) yig ‘indini tuzamiz. 
1
f
,
) S
n
k
k
k
k
k

=
=
(   

Ma’lumki, 
,
(
)
k
k
k
k
S
   
. Bu nuqtaga akslanuvchi nuqta 
,
)
k
k
( 
nuqta

---

bo‘ladi.Demak, 
,
)
k
k
k
z
 = ( 
' 2
' 2
(D)
1
(x, y)
(x, y)
x
y
S
z
z
dxdy
=
+
+

formulaga binoan
' 2
' 2
(D)
1
(x, y)
(x, y)
k
x
y
S
z
z
dxdy
=
+
+

bo‘ladi. 
O‘rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib topamiz: 
' 2
*
*
' 2
*
*
(D)
1
(
,
)
(
,
)
k
x
k
k
y
k
k
S
z
z
 
 
=
+
+

k
D
*
*
(
)
(
,
)
k
k
k
D
 

Natijada

yig ‘indi quydagi 
1
( ,
, z( ,
))
n
k
k
k
k
k
k
f
S

 
 
=
=
=

' 2
*
*
' 2
*
1
*
1
( ,
)
(
( ,
, z
)
,
,
(
))
n
k
k
k
x
k
y
k
k
k
k
k
k
z
z
D
f
 

 
 

=
=
+
+

Ko ‘rinishga keladi. 
Endi 
0
s
P

→
da (bu holda 
0
s
D

→
ham nolga intiladi) 

yig ‘indining 
limitini topish maqsadida uning ifodasini o ‘zgartitib yozamiz: 
'
1
2
*
*
' 2
*
*
( ,
, z( ,
1
( ,
)
(
))
,
)
x
k
k
y
n
k
k
k
k
k
k
k
k
f
z
z
D

 
 
 
 
=
=
+
+
+

' 2
*
*
' 2
*
*
' 2
*
*
' 2
*
*
1
1
( ,
)
( ,
)
1
( ,
)
(
( ,
, z(
,
)
,
))
n
k
k
k
k
k
k
x
k
k
y
k
k
x
k
k
y
k
k
z
z
z
z
f
D
 
 
 
 
 
 
=
 +
+
−
+
+

+



(4) 
Bu tenglikning o ‘ng tomonidagi ikkinchi qo ‘shiluchini baholaymiz : 
' 2
*
*
' 2
*
*
' 2
*
*
' 2
*
*
' 2
*
*
' 2
*
*
' 2
*
*
' 2
*
*
1
1
1
(
,
)
(
,
)
1
(
,
)
(
,
)
1
(
,
)
(
,
)
1
( ,
, z( ,
,
(
)
,
)
)
(
)
x
k
k
y
k
k
x
k
k
y
k
k
x
k
k
y
k
k
x
k
k
y
k
k
n
k
k
k
k
k
k
n
k
k
z
z
z
z
z
z
z
D
D
z
f
M
 
 
 
 
 
 
 

 
 

=
=
+
+
−
+
+
+
+
−






+
+


Bunda
max
(x, y, z)
M
f
=
Ravshanki

---

' 2
' 2
1
(x, y)
(x, y)
x
y
z
z
+
+
Funksiya (D) da uzluksiz, desak ,demak, tekis uzluksiz. U holda Kantor 
teoremasining natijasiga ko ‘ra 
0

 
olinganda ham shunday 
0


topiladiki,
(D) sohaning diametri 
D
P



bo ‘lgan har qanday 
D
P
bo ‘lishi uchun
' 2
*
*
' 2
*
*
' 2
*
*
' 2
*
*
1
(
,
)
(
,
)
1
(
,
)
(
,
)
x
k
k
y
k
k
x
k
k
y
k
k
z
z
z
z
M D

 
 
 
 
+
+
−
+
+


bo ‘ladi.Unda 
' 2
*
*
' 2
*
1
1
*
' 2
*
*
' 2
*
*
1
( ,
)
( ,
)
1
( ,
)
( ,
)
( ,
, z( ,
))
x
k
k
y
k
k
x
n
n
k
k
k
k
k
k
k
k
y
k
k
k
k
z
z
z
z
f
D
M
D
M D
 
 
 
 

 
 

=
=
+
+
−







+
+
=


 
va demak 
' 2
*
*
' 2
*
*
' 2
*
*
' 2
*
*
0
1
1
(
lim
( ,
, z( ,
))
0
,
)
(
,
)
1
(
,
)
(
,
)
PD
n
k
x
k
k
k
k
k
k
y
k
k
x
k
k
y
k
k
k
z
z
D
z
z
f

 

 
 

 
 
→
=




=




+
+
−
− +
+

(4)tenglikning o ‘ng tomonidagi birinchi qo ‘shiluvchi
' 2
1
*
*
' 2
*
*
( ,
, z(
1
( ,
)
( ,
,
))
)
n
k
x
k
k
k
k
k
k
k
y
k
k
f
D
z
z
 
 
 
 
=
+
+

Esa
' 2
' 2
(x, y, z(x, y)) 1
(x, y)
(x, y)
x
y
f
z
z
+
+
Funksiyaning integral yig ‘indisidir.Bu funksiya (D) sofada uzluksiz.Demak ,
0
D
P

→
da integral yig ‘indi chekli limitga ega va
' 2
*
*
' 2
*
*
0
1
lim
( ,
, z(
1
( ,
)
)
,
))
( ,
PD
n
k
k
k
k
k
x
k
k
y
k
k
k
z
f
D
z

 






→
=
+
+
=

' 2
' 2
(D)
(x, y, z(x, y)) 1
(x, y)
(x, y)
x
y
f
z
z
dxdy
=
+
+


---

Bo ‘ladi. Bu munosabatni etiborga olib (4) tenglikda 
0
D
P

→
da limitga o ‘tib 
topamiz. 
' 2
1
' 2
0
0
lim
lim
( ,
, z( ,
)) 1
(
,
)
(
,
)
P
P
S
S
n
k
k
x
k
k
y
k
k
k
k
k
k
z
D
z
f


 



 

→
→
=
+
=
+
=

' 2
' 2
(D)
(x, y, z(x, y)) 1
(x, y)
(x, y)
x
y
f
z
z
dxdy
=
+
+

Demak 
' 2
' 2
(D)
(D)
(x, y, z)
(x, y, z(x, y)) 1
(x, y)
(x, y)
x
y
f
ds
f
z
z
dxdy
=
+
+


Teorema isbot bo ‘ldi.