|
Ikkinchi tur sirt integrallari
f(x,y,z) funksiya (S) sirtda berilgan bo ‘lsin .Bu sirtning ma’lum tomoni
olaylik . Sirtning P bo ‘linishini va bu bo ‘lishini har bir
(
)
k
S
bo ‘lagida
(k=1,2,3…..) ixtiyoriy
,
k
k
k
nuqta (k=1,2,3…..) olaylik. Berilgan funksiyaning
,
k
k
k
nuqtadagi
(
)
,
k
k
k
f
qiymatini
(
)
k
S
ning Oxy tekislikdagi proeksiyasi
(D )
k
ning yuziga ko ‘paytirib quydagi yig ‘indi tuzamiz
1
f
,
)
n
k
k
k
k
k
D
=
=
(
(5)
(S)
sirtning shunday
1
2
3
,
,
,........
,.....
m
P P P
P
(6)
Bo ‘linishlarni qaraymiz ,ularning mos diametrlaridan tashkil topgan
1
2
3
,
,
,......
,.....
m
P
P
P
P
Ketma –ketlik nolga intilsin.
0
m
P
→
Bundan
(m 1, 2,3,......)
m
P
=
bo ‘linishlarga
nisbatan
(x, y, z)
f
funksiyaning integral yig ‘indilarni tuzamiz.Natijada
(S)
sirtning
(6) bo ‘linishlarga mos integral yig ‘indilar qiymatlaridan iborat quydagi
1
2
,
,.......
,......
m
ketma-ketlik hosil bo ‘ladi.
5-ta’rif.
Agar (S) sirtning har qanday (6) bo ‘linishlar ketma-ketligi
m
P
olinganda ham unga mos integral yig ‘indi qiymatlaridan iborat
m
ketma –ketlik
,
)
k
k
k
(
nuqtalarni tanlab olinishiga bog ‘liq bo ‘lmagan holda, hamma vaqt
bitta I songa intilsa,bu I
yig ‘indining limiti deb ataladi va u
0
0
1
lim
lim
f
,
)
p
p
n
k
k
k
k
k
D
I
→
→
=
=
(
=
(7)
kabi belgilanadi.
Integral yig ‘indining limitini quydagich ham ta’riflash mumkin.
6-ta’rif.
Agar
0
son olinganda ham ,shunday
0
topilsaki,(S) sirtning
diametri
p
bo ‘lgan har qanday bo ‘linishi hamda har bir
(S )
k
bo ‘lakdan
olingan ixtiyoriy
,
)
k
k
k
(
lar uchun
I
−
Tengsizlik bajarilsa , u holda I son
yig ‘indining limiti deb ataladi va (7) kabi
belgilanadi.
7-ta’rif.
Agar
0
p
→
da f(x,y,z) funksiyaning integral yig ‘indisi
chekli
limitga ega bo ‘lsa f(x,y,z ) funksiya (S) sirtning bo ‘yich integrallanuvchi (Riman
ma’nosida integrallanuvchi )funksiya deb ataladi. Bu yig ‘indining chekli limiti I
esa ,f(x,y,z) funksiyaning ikkinchi tur sirt integrali deyiladi va u
(S)
(x, y, z) ds
f
Kabi belgilanadi. Demak ,
(S)
(x, y, z) ds
f
0
0
0
1
lim
lim
lim
f
,
)
p
p
p
n
k
k
k
k
k
D
→
→
→
=
=
=
=
(
Funksiya ikkinchi tur sirt integrali quydagicha
(S)
(x, y, z) ds
f
(8)
Belgilashidan, integral (S) sirtning qaysi tamoni bo ‘yicha olinganligi ko‘rinmaydi.
Binobarin (8) integral to ‘g ‘risida gap borganda ,har gal integral sirtning qaysi
tamoni bo ‘yicha olinayotgani aytib boriladi.
Ravshanki f(x,y,z) funksiyaning (S) sirtning bir tamoni bo ‘yicha olingan
ikkinchi tur sirt integrali, funksiya shu sirtning ikkinchi tomoni bo ‘yicha olinga
ikkinchi tur sirt integralidan faqat ishorasi bilan farq qiladi.
(S)
(S)
(x, y, z) dydz,
(x, y, z) dzdx
f
f
Ikkinchi tur sirt integralidan ta’riflanadi .
Shunday qilib ,sirtda berilgan f(x,y,z) funksiyadan uchga –Oxy tekislikdagi
proeksiyalari ,Oyz tekislikdagi proeksiyalari hamda Ozx tekislikdagi proeksiyalar
vositasida olingan ikkinchi tur sirt integrallari tushunchalari kiritiladi.
Umumiy holda (S) sirtda P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)funksiyalar berilgan
bo‘lib ,ushbu
(S)
(S)
(S)
P(x, y, z) dxdy,
Q(x, y, z) dydz,
R(x, y, z) dxdz
Integral mavjud bo ‘lsa u holda
(S)
(S)
(S)
P(x, y, z) dxdy
Q(x, y, z) dydz
R(x, y, z) dxdz
+
+
Yig ‘indi ikkinchi tur sirt integralining umumiy ko ‘rinishi deb ataladi va u
(S)
P(x, y, z) dxdy Q(x, y, z) dydz R(x, y, z) dxdz
+
+
kabi belgilanadi. Demak
(S)
(S)
P(x, y, z) dxdy Q(x, y, z) dydz R(x, y, z) dxdz
+
+
=
=
(S)
(S)
(S)
P(x, y, z) dxdy
Q(x, y, z) dydz
R(x, y, z) dxdz
+
+
Faraz qilaylik
3
R
fazodagi (S) sirt
z=z(x,y)
tenglama bilan berilgan bo ‘lsin .Bunda z=z(x,y) funksiya chegaralangan yopiq (D)
sohada
2
((D)
)
R
uzluksiz va
( )
( )
'
'
,
,
,
x
y
z
z x y
z
z x y
=
=
hosilalarga ega hamda bu
hosilalar ham (D)da uzluksiz.
Teorema.
Agar f(x,y,z) funksiya (S) sirtda berilgan va uzluksiz bo ‘lsa , u
holda bu fuksiyaning (S) sirt bo ‘yicha ikkinchi tur sirt integrali
( )
(x, y, z)
S
f
ds
mavjud va
( )
(D)
(x, y, z)
(x, y, z(x, y))
S
f
ds
f
dxdy
=
bo ‘ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
