Mavzu : Funksiya va uning limiti. Reja: I. Kirish II. Asosiy qisim. 1- bob. Funksiya va uning limiti

Limitga ega bo’lgan funksiyalarning sodda xossalari.
1⁰. Agar f(x)=b bo’lib, b>p (bbo’lsa, u holda x ning a ga yetarlicha yaqin qiymatlarida f(x)>p (f(x) bo’ladi.
Hususiy holda, f(x)=b bo’lib, b>0 (b<0) bo’lsa, x ning a ga yetarlicha yaqin qiymatlarida f(x)>0 (f(x)<0 ) bo’ladi.
Bu xossaning isboti limitning Geyne ta’rifi hamda yaqinlashuvchi ketma-ketlikning mos xossasidan kelib chiqadi.
2⁰. Agar chekli f(x)=b mavjud bo’lsa, a ning yetarlicha kichik atrofida f(x) funksiya chegaralangan bo’ladi.
Isbot. Ta’rifga ko’ra har bir >0 uchun >0 topilib, x ning 0<|x-a|< tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida |f(x)-b|< tengsizlik o’rinli bo’ladi.
|f(x)-b|< b- demak, f(x) funksiya x ning
(a- ;a+ ) atrofida chegaralangan.
3⁰. Agar x ning a nuqtaning biror (a- ;a+ ) atrofidan olingan barcha qiymatlarida
f(x) g(x) h(x)
tengsizlik o’rinli hamda f(x), h(x) limitlar mavjud bo’lib, f(x)= h(x)=b bo’lsa, u holda g(x)=b bo’ladi.
Bu xossaning isboti limitning Geyne ta’rifi hamda yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning xossasidan kelib chiqadi.

Bir tomonli limitlar.
1.12-Ta’rif. Agar ixtiyoriy (a- ; a) intervalda X to’plamning kamida bitta (cheksiz ko’p) nuqtalari bo’lsa, a nuqta X to’plamning chap limit nuqtasi deyiladi.
1.13-Ta’rif. Agar ixtiyoriy (a; a+ ) intervalda X to’plamning kamida bitta (cheksiz ko’p) elementlari mavjud bo’lsa, a nuqta X to’plamning o’ng limit nuqtasi deyiladi.
y=f(x) funksiya X to’plamda berilgan bo’lib, a X to’plamning o’ng (chap) limit nuqtasi bo’lsin.
1.14-Ta’rif (Geyne). Agar X to’plamning nuqtalaridan tuzilgan va har bir hadi a dan katta (kichik) bo’lib, a ga intiluvchi har qanday (x_n) ketma-ketlik olganimizda ham mos (f(x_n)) ketma-ketlik hamma vaqt yagona b ga intilsa, b soni f(x) funksiyaning a nuqtadagi o’ng (chap) limiti deb ataladi.
Funksiyaning o’ng limiti f(x)=b yoki f(a+0)=b, chap limiti esa f(x)=b yoki f(a -0)=b orqali belgilanadi.
Misol. f(x)=[x] - x ning butun qismi. a=1 bo’lsin. 0<x_n<1 deb olsak, u holda f(x_n)=[x_n]=0.
1< x_n <2 bo’lsa, f(x_n)=[x_n]=1 bo’ladi.
f(x)= 1=1, f(1+0)=1 ; f(x)= 0=0, f(1-0)=0
Ta’rif. (Koshi) Agar har bir >0 son uchun shunday >0 topilib, x ning atengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida | f(x)-b|< tengsizlik bajarilsa, b son f(x) funksiya-ning a nuqtadagi o’ng (chap) limiti deb ataladi.
Maple dasturida f(x), f(x) limitlarni hisoblash uchun mos ravishda a nuqta X to’plamning chap va o’ng limit nuqtasi bo’lsin. Ushbu teoremaning o’rinli ekanligini sezish qiyin emas.
1.1-Teorema f(x) funksiya a nuqtada limitga ega bo’lishligi uchun shu nuqtada chap va o’ng limitlarning mavjud bo’lib, f(a-0)= f(a+0) tenglik o’rinli bo’lishi zarur va yetarli.
1.2-Teorema. (limitning yagonaligi haqida ). Agar f(x) funksiya x a da limitga ega bo’lsa, bu limit yagona bo’ladi.
Isboti ketma-ketlikdagi kabi ko’rsatiladi.
1.3-Teorema . Agar va bo’lsa, u holda
a)
b)
c)
Bu xossalarning isboti limitning Geyne ta’rifi hamda yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning arifmetik xossalaridan bevosita kelib chiqadi.

1.2.Chekli limitga ega bo`lgan funksiyalarning xossalari

Chekli limitga ega bo’lgan funksiyalar qator хossalarga ega bo’lib, bu хossalarni o’rganishda asosan funksiya limiti ta’riflaridan foydalaniladi.
funksiya X to’plamda berilgan, a esa Х ning limit nuqtasi bo’lsin.
1⁰. Agar funksiyaning a nuqtada limiti mavjud bo’lsa, bu limit yagonadir.
2⁰. Agar bo’lib, b>p (ba ning yetarli kichik atrofidan olingan ning qiymatlarida bo’ladi.
3⁰. Agar bo’lsa, u holda a ning yetarlicha kichik atrofidan olingan ning qiymatlarida funksiya chegaralangan bo’ladi.
4⁰. Agar , bo’lib, х argumentning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda tengsizlik o’rinli bo’ladi.
5⁰. Agar х argumentning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida tengsizlik o’rinli bo’lib, bo’lsa, u holda – mavjud va u ham b ga teng.
6⁰. Agar , bo’lsa, u holda , , funksiyalar ham limitga ega va , , munosabatlar o’rinli.

7⁰. Agar mavjud bo’lsa, u holda ham majud va u ga teng (k-const), ya’ni .

8⁰. Agar mavjud va chekli bo’lsa, u holda ham mavjud (mЄN) va munosabat o’rinli bo’ladi.
Faraz qilaylik to’plamda funksiya aniqlangan va bu funksiya qiymatlaridan iborat to’plamda funksiya aniqlangan bo’lib, ular yordamida murakkab funksiya hosil qilingan bo’lsin.
9⁰. Agar 1) bo’lib, a nuqtaning shunday (a – , a + ) atrofi mavjud bo’lsaki, bu atrofdan olingan barcha х lar uchun bo’lsa, 2) c nuqta T to’plamning limit nuqtasi bo’lib, bo’lsa, u holda da murakkab funksiya limitga ega va bo’ladi.