Mavzu : Funksiya va uning limiti. Reja: I. Kirish II. Asosiy qisim. 1- bob. Funksiya va uning limiti

3.3-teorema (Koshi).  funksiya nuqtada chekli limitga ega bo‘lishi uchun bu funksiya nuqtada Koshi shartining bajarishi zarur va etarli.
◄ Zarurligi. funksiya nuqtada chekli limitga ega bo‘lsin:
.
Limit ta’rifiga binoan:
uchun

(4)

bo‘ladi. Shuningdek, yX  (U_ (x_o) \ {x_o}) uchun ham

(5)

bo‘ladi. (4) va (5) munosabatlardan

bo‘lishi kelib chiqadi.
Yetarliligi. Aytaylik funksiya uchun (3) shart bajarilsin. nuqtaga intiluvchi ikkita


ketma-ketliklarni olamiz. Bu ketma-ketliklardan foydalanib, ushbu

ketma-ketlikni hosil qilamiz. Uni bilan belgilaymiz. Ravshanki, ketma-ketlik uchun

bo‘ladi. Teorema shartiga binoan soniga ko‘ra sonni olamiz. Modomiki, da ekan, unda limit ta’rifiga ko‘ra:

bo‘ladi. Unda uchun

tengsizlik bajapiladi. Byndan ketma-ketlikning fyndamental ekanligi kelib chiqadi. Demak ketma-ketlik yaqinlashyvchi:
da .
Unda
,
bo‘lib, fynksiya limitining Geyne ta’pifiga binoan bo‘ladi. ►