Mavzu : Funksiya va uning limiti. Reja: I. Kirish II. Asosiy qisim. 1- bob. Funksiya va uning limiti

2- BOB
2.1 Monotonli funksiya limiti, Koshi teoremasi.
Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, bo‘lsin . Ravshanki, nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘ladi.
3.1-teorema. Agar funksiya to‘plamda o‘suvchi bo‘lib, u yuqoridan chegaralangan bo‘lsa, funksiya nuqtada

limitga ega bo‘ladi.
◄  funksiya qiymatlaridan iborat bo‘lgan ushbu

to‘plamni qaraymiz. Teoremaning shartiga ko‘ra bu to‘plam yuqoridan chegaralangan bo‘ladi. U holda to‘plamning aniq chegarasining mavjudligi haqidagi teoremaga ko‘ra tuplam aniq yuqori chegaraga ega. Uni bilan belgilaymiz:
.
Endi, bo‘lishini isbotlaymiz. Aniq yuqori chegara ta’rifiga ko‘ra:
1) uchun ;
2) bo‘ladi.
Agar deyilsa, unda uchun

bo‘lib,

tengsizlik bajariladi. Bu esa

ekanini bildiradi. ►
Xuddi shunga o‘xshash quyida keltiriladigan teorema isbotlanadi.
Aytaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, bo‘lsin . Ravshanki, nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘ladi.
3.2-teorema. Agar funksiya to‘plamda kamayuvchi bo‘lib, u quyidan chegaralangan bo‘lsa, funksiya nuqtada

limitga ega bo‘ladi.
3. Koshi kriteriysi.
Endi funksiya limitining mavjudligi haqidagi umumiy teoremani keltiramiz.
Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
3.1-ta’rif. Agar olinganda ham shunday son topilsaki,

lar uchun

(3)

tengsizlik bajarilsa, uchun nuqtada Koshi sharti bajariladi deyiladi.
3.1-misol. Ushbu funksiya uchun nuqtada Koshi sharti bajariladi.
◄ Haqiqatan ham, songa ko‘ra deyilsa, u holda

lar uchun (ya’ni uchun)


bo‘ladi.