Matematikadan o’quv-uslubiy majmua

3-teorema. Ikkita funksiya ko‘paytmasining limiti bu funksiyalar limitlarining ko‘paytmasiga teng, ya’ni
.
1-natija. O‘zgarmas funksiyaning limiti uning o‘ziga teng , ya’ni
.
2-natija. O‘zgarmas ko‘paytuvchini limit belgisidan tashqarida chiqazish mumkin, ya’ni
,
3-natija. Funksiyaning natural ko‘rsatkichli darajasining limiti bu funksiya limitining shu tartibli darajasiga teng, ya’ni
,
4-teorema. Ikki funksiya bo‘linmasining limiti bu funksiyalar limitlarining nisbatiga teng, ya’ni
, .
5-teorema. Agar nuqtaning biror atrofidagi barcha uchun tengsizlik bajarilsa va funksiyalar da limitga ega bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
6-teorema. Agar nuqtaning biror atrofidagi barcha uchun tengsizlik bajarilsa va bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
7-teorema. bo‘lsin. U holda:
1) agar ( ) tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha uchun bo‘lsa, bo‘ladi;
2) agar ( ) tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha uchun bo‘lsa, bo‘ladi.
8-teorema. Agar bo‘lsa, u holda nuqtaning yetarlicha kichik atrofidan olingan qiymatlarda funksiya chegaralangan bo‘ladi.
Isboti. Shartga ko‘ra . Funksiya limitining Koshi ta’rifiga ko‘ra son uchun shunday son topiladiki, ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida , ya’ni tengsizlik bajariladi. Demak, ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida ( oraliqda) funksiyaning qiymatlari oraliqda bo‘ladi. Bu funksiyaning oraliqda chegaralanganligini bildiradi².