Matematikadan o’quv-uslubiy majmua

4-ta’rif. Agar son uchun shunday son topilsaki, ning tehgsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida tehgsizlik bajarilsa, soniga funksiyaning nuqtadagi o‘ng (chap) limiti deyiladi va yoki yoki kabi belgilanadi.
funksiyaning nuqtadagi o‘ng va chap limitlari bir tomonlama limitlar deb ataladi. Agar funksiyaning nuqtadagi o‘ng va chap limitlari mavjud va bir-biriga teng, ya’ni bo‘lsa, nuqtada funksiyaning limiti mavjud va bo‘ladi.
funksiya intervalda aniqlangan bo‘lsin.
5- ta’rif. Agar son uchun shunday son topilsaki, ning
tehgsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida tehgsizlik bajarilsa, soniga funksiyaning dagi limiti deyiladi va kabi belgilanadi.
Funksiyaning cheksizlikdagi limiti ta’rifini geometrik nuqtai-nazardan bunday talqin qilish mumkin: agar bo‘lsa, son uchun shunday son topiladiki, larda
funksiyaning qiymatlari nuqtaning atrofiga yotadi.
Misol
funksiyaning nuqtadagi bir tomonlama limitlarini topamiz:


Limitlar haqidagi teoremalar
Funksiya limitining «ketma-ketlik tilidagi» ta’rifi yaqinlashuvchi (limitga ega) ketma-ketliklarning xossalarini funksiyaning limiti uchun o‘tkazish imkonini beradi. Bu xossalarni ifodalovchi teoremalar bilan tanishamiz va ularning ayrimlarini isbotlaymiz.
1-teorema. Funksiya da yagona limitga ega bo‘ladi.
2-teorema. Ikkita funksiya algebraik yig‘indisining limiti bu funksiyalar limitlarining algebraik yig‘indisiga teng, ya’ni
.
Isboti. Ihtiyoriy kema-ketlik olamiz.
Bu ketma-ketlik uchun bo‘lsin.
U holda
.
Demak,
.