Matematika

3-misol. formula aynan yolg’on formuladir. Haqiqatan ham asosiy chinlik jadvallari yordamida A formulaning chinlik jadvalini tuzsak, natijada 3-jadvalga ega bo’lamiz.

x	y
0	0	1	1	1	0	0
0	1	1	1	1	0	0
1	0	0	0	0	1	0
1	1	0	1	1	0	0

3-jadvalning oxirgi ustiniga ko’ra

3-ta’rif. Agar A va B formulalar uchun formula tavtologiya bo’lsa, u holda B formula A formulaning mantiqiy xulosasi deb ataladi.

4-ta’rif. Agar A va B formulalar uchun formula tavtologiya bo’lsa, u holda B formula A formulaning mantiqiy ekvivalent formulalar deb ataladi.

4-misol. 1-misolda tavtologiya bo’lishini ko’rgan edik (1-jadvalga qarang). Shu sababli 3-ta’rifga ko’ra. y formula formulaning mantiqiy xulosasidir.

2-jadvalga ko’ra va formulalar mantiqiy ekvivalent formulalar bo’ladi hamda, shu bilan birga formula formulaning mantiqiy xulosasisdir degan tasdiqlar to’g’ridir. Albatta, formula formulaning mantiqiy xulosasidir degan tasdiq ham to’g’ri.

1-teorema. Agar A va formulalarnig har biri tavtologiya bo’lsa, u holda B formula ham tavtologiya bo’ladi.

Isboti. A va formulalarning har biri tavtologiya bo’lsin. Teorema tasdig’ining teskarisini, ya’ni A va B formulalar tarkibiga kiruvchi o’zgaruvchilarning hech bo’lmaganda bitta qiymatlar satrida B formula yo qiymat qabul qilsin deb faraz qilamiz. U holda, A formula tavtologiya bo’lganligi uchun, o’zgaruvchilarning o’sha qiymatlar satr(lar)ida A ch qiymat qabul qiladi. Shu sababli formula yo qiymat qabul qiladi. Bu esa formula tavtologiyadir degan tasdiqqa qarama-qarshidir. Demak, B tavtologiyadir.

2-teorema. Agar formula tarkibiga bir yoki ko’p marta kirgan A formula o’rniga B formulani qo’yish natijasida formula hosil qilinsa, u holda formula tavtologiya bo’ladi.

Isboti. Agar tarkibidagi o’zgaruvchilarning biror qiymatlar satrida A va B formulalar turli qiymatlarga ega bo’lsa, u holda o’sha qiymatlar satrida formulaning qiymati yo bo’ladi va, natijada, formulaning qiymati qanday bo’lishidan qat’I nazar formula ch qiymat qabul qiladi.

Agar tarkibidagi o’zgaruvchilarning qandaydir qiymatlar satrida A va B formulalar bir xil qiymat qabul qilsa, u holda o’sha qiymatlar satrida va formulalar ham bir xil qiymat qabul qiladi, chunki teoremaning shartiga asosan formula formuladan A formulaning o’rniga B formulani qo’yish natijasida hosil qilingan. Demak, bu holda va formulalarning ikkalasi ham ch qiymat qabul qiladi. Shuning uchun formula ham ch qiymat qabul qiladi.

Shunday qilib yuqorida qaralgan mumkin bo’lgan ikkala holda ham formula ch qiymat qabul qiladi. Demak, formula tavtologiya bo’ladi.

2-teoremaga ko’ra agar formula tarkibiga bir yoki ko’p marta kirgan A formula o’rniga B formulani qo’yish natijasida formula hosil qilinsa, u holda A va B formulalarning mantiqiqy ekvivalentligidan chiqadi.