Matematik analiz

Параметрга боғлиқ хосмас интеграллар ҳақида тушунча

Фараз қилай­лик, функция

тўпламда берилган бўлсин. Бу функция ҳар бир тайин да ўзгарувчининг функцияси сифатида да интеграл­ла­нувчи, яъни

хосмас интеграл яқинлашувчи. Равшанки, интегралнинг қиймати ўзгарувчига боғ­лиқ бўлади:

. (1)

Масалан, бўлганда

бўлади. Демак, бу ҳолда

бўлади.

(1) интеграл параметрга боғлиқ чегараси чексиз хосмас интеграл, эса параметр дейилади.

Худди шунга ўхшаш

параметрга боғлиқ хосмас интеграллар тушунчалари кирити­лади.

Айтайлик, функция

2. 
   
   

тўпламда берилган бўлсин. Бу функция ҳар бир тайин да ўзга­рувчининг функцияси сифатида қаралганда унинг учун мах­сус нуқта бўлиб, у да интегралланувчи, яъни

хосмас интеграл яқинлашувчи бўлсин. Равшанки, бу ҳолда ҳам интегралнинг қиймати ўзгарувчига боғлиқ бўлади.

. (2)

Масалан, бўлганда

бўлади. Демак, бу ҳолда

бўлади.

(2) интеграл параметрга боғлиқ, чегараланмаган функ­ция­нинг хосмас интег­ра­ли, эса параметр дейилади.

Умумий ҳолда, параметрга боғлиқ, чегараланмаган функ­ция­нинг чегараси чексиз интеграли тушунчаси ҳам юқори­дагидек киритилади.

1.2. Beta funksiya va uning xossalari.

Ushbu

Xosmas integral berilgan bo’lsin.

1-ta’rif (1.1.1) integral beta funksiya yoki birinchi tur Eylar integrali deyiladi va B(a,b) kabi belgilanadi, demak

Shunday qilib , B(a,b) funksiya R² fazodagi M={(a,b)ЄR² : aЄ(0; +∞), bЄ(0; +∞)} to’plamda berilgandir. Endi B(a, b) funksiyaning xossalarini ko’rib chiqamiz. 1⁰B(a, b) integralni olamiz.

Bu integral a va b ga nisbatan simmetrik funksiyalardan iborat, ya’ni

B(a, b) = B(b, a) (1.1.3)

Isbot. Haqiqatda, integralda x=1-t almashtirish bajarilsa, u holda quyidagiga ega bo’lishihi topamiz.

Chunki faqat a va b ning rollari almashadi

2⁰ (1.1.1) integral

Ixtiyoriy M={(a,b)ЄR² : aЄ(0; +∞), bЄ(0; +∞)} (a₀>0, b0>0) to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.

Isbot. Berilgan integralni tekis yaqinlashuvchilikka tekshirish uchun uni quyidagicha

yozib olamiz.

Ma’lumki, a>0 bo’lganda integral yaqinlashuvchi, b>0 bo’lganda

integral yaqinlashuvchi bo’ladi.

Parametr a ning a a₀(a₀>0) qiymatlari va ixtiyoriy b>0, ixtiyoriy xЄ(0, ½) uchun

bo’ladi. Veyershtrass alomatidan foydalanib,

Integralning tekis yaqinlashuvchiligini topamiz.

Shuningdek paramtr b ninng b≥b₀(b₀>0) qiymatlari va ixtiyoriy a>0, ixtiyoriy xЄ[1/2, 1) uchun,

bo’ladi va yana Veyershtrass alomatiga ko’ra,

Integralning tekis yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.

Demak, integral a b bo’lganda, ya’ni

to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.

B (a, b) funksiya to’plamda uzluksiz funksiyadir.

Isbot: Haqiqatdan ham,

Integralning M₀ to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’lishidan va integral ostidagi funksiyaning (a, b) M da uzluksizligidan quyidagi teoremaga asosan B(a, b) funksiya to’plamda uzluksiz bo’ladi.

1-teorema. f(x, y) funksiya M₁ to’plamda uzluksiz va

Integral [c, d] da tekis yaqinlashuvchi bo’lsin. U holda I₁(y) funksiya [c, d] oraliqda uzluksiz bo’ladi.

4⁰ B(a, b) funksiya quyidagicha ham ifodalanadi

Isbot. (1.1.1) integralda x= almashtirish bajarilsa, u holda

bo’ladi.

Xususan, b=1-a (0

Isbot. (1.1.5) integral chegaralanmagan funksiyaning chegarasi cheksiz xosmas integral bolib, a parametrga bog’liqdir.

Bu integralni quyidagi ikki qismga ajratib

Ularning har birini alohida – alohida yaqinlashuvchilikka tekshiramiz.

0

tengsizlik o’rinli va integral a>0 da yaqinlashuvchi, a

Integral a>0 da yaqinlashuvchi, a bo’ladi. t>1 da quyidagi

tenglik o’rinli va integral a<1 da yaqinlashuvchi, a da uzoqlashuvchi,

integral a<1 da yaqinlashuvchi, a da uzoqlashuvchi bo’ladi. Shunday qilib, berilgan

integral 0

Endi I(a) integralni hisoblaymiz.

Ma’lumki 0

bo’lib bu qator [ ] (0 tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.

(1.1. darajali qatorning qismiy yig’indisi

bo’ladi. Agar va uchun,

Tengsizlikning o’rinli bo’lishini hamda

(0Integralning yaqinlashuvchiligini e’tiborga olsak, unda Veyershtrass alomatiga ko’ra integral tekis yaqinlashuvchi bo’ladi, ikkinchi teoremaga ko’ra,

2- teorema. f(x,y) funksiya

1.y o’zgaruvchining E dan olingan har bir tayin qiymatida x o’zgaruvchining funksiyasi sifatida [a,b) da uzluksiz.

1. 
   y ixtiyoriy [a,t) (a

Agar

Integral E to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda y da funksiya limitga ega va

=

bo’ladi.

ya’ni

bo’ladi. Bu tenglikdan quyidagini topamiz.

Demak,

Agar

Integral t=1\p almashtirish bajarsak, u holda

bo’ladi. Yuqoridagi yo’l bilan

bo’lishini topamiz. Demak,

bo’ladi.

Agar

bo’lishini e’tiborga olsak, unda

ekanligi kelib chiqadi. Demak,

Bo’ladi. (1.1.5) munosabatdan quyidagini topamiz.

Beta funksiyaning xususiy holda uzluksiz hosilalarga ega, ya’ni

va hokazo,

bo’ladi.

5⁰ (a, b) M’(M’={(a, b) R²:a (0; +∞), b (1; +∞)}) uchun

bo’ladi.

Isbot. (1.1.1) integralni bo’laklab integrallaymiz.

Agar

Ekanligigni e’tiborga olsak, uholda

Bo’lib, natijada

Bo’ladi. bu tenglikdan esa

bo’lishini topamiz.

Xuddi shunga o’xshash (a, b) M” uchun M”={(a, b) R²: a (1, ∞) b (0, +∞)})

bo’ladi.

Isbot. (1.1.1) integralni bo’laklab integrallaymiz.

bo’lishini topamiz.

Xususan , b=n (n bo’lganda

bo’lib, (1.1.6) formulani takror qo’llab, quyidagini topamiz.

Ma’lumki, , demak

Agarda (1.1.7) da a=m (m N) bo’lsa, u holda

1.3. Gamma funksiya va uning xossalari.

Bizda quyidagi

Xosmas integral berilgan bo’lsin. Bu chegaralanmagan funksiyaning (a<1 da x=0 maxsus nuqta) cheksiz oraliq bo’yicha olingan xosmas integrali bo’lishi bilan birga a parametrga ham bog’liqdir. O’sha yerda (1.2.1) xosmas integralning a>0 da (0; +∞) da yaqinlshuvchi, a≤0 da, ya’ni (-∞; 0] da uzoqlashuvchi bo’ladi:

2-ta’rif. (1.2.1) integral gamma funksiya yoki ikkinchi tur Eyler integrali deb ataladi va Г(a) kabi belgilanadi. Demak,

Shunday qilib, Г(a) funksiya (0; +∞) da berilgandir. Endi Г(a) funksiyaning asosiy xossalarini qarab chiqamiz.

1⁰ (1.2.1) integral

Ixtiyoriy [a₀, b₀] (000<+∞) oraliqda tekis yaqinlashuvchi bo’ladi:

Isbot. (1.2.1) integralni quyidagi ikki qismga ajratib

Ularning har birini alohida-alohida tekis yaqinlashuvchilikka tekshiramiz.

Agar a0(a0>0) sonni olib, parameter a ning a≥a0 qiymatlari qaralsa, unda barcha xЄ(0; 1] uchun bo’lib, Veyershtrass alomatiga ko’ra integral tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.

Agar b₀(b₀>0) sonni olib, parameter a ning a≤b₀ qiymatlari qaraladigan bo’lsa, u holda barcha x≥1 uchun

bo’lib integralning yaqinlashuvchiligidan, yana Veyershtrass alomatiga ko’ra

to’plamda uzluksiz bo’lsa, u holda

funksiya [c, d] oraliqdagi uzluksiz bo’ladi. (1.2.1) integral ostidagi funksiya

Hosilaning M to’plamida uzluksiz funksiya ekanligini payqash qiyin emas.

Endi

Integralni [a0,b0] da tekis yaqinlashuvchi bo’lishini ko’rsatamiz. Ushbu integral ostidagi funksiya uchun 01(x)=x²IlnxI funksiya 00, b₀] (000<+∞) da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.

2⁰ funksiya (0; +∞) da uzluksiz hamda barcha tartibdagi uzluksiz hosilalarga ega va