Matematik analiz

Isbot. nuqtani olaylik. Unda shunday [a₀, b₀] (000<+∞) oraliq topiladiki, a [a₀, b₀] bo’ladi.

Ma’lumki,

Integral ostidagi f(x,a)=x^a-1e^-x funksiya M={(x, a) R² x (0; +∞), a (0; +∞)} tooplamda uzluksiz funksiyadir. (1.2.1) integral esa yuqorida isbotlanganiga asosan [a₀,b₀] da tekis yaqinlashuvchi. U holda quyidagi teoremaga asosan Г(a) funksiya [a₀,b₀] da binobarin, a nuqtada uzluksiz bo’ladi.

2-teorema. Agar f(x, y) funksiya to’plamda bir tayin qiymatida yaqinlashuvchi bo’ladi.

Agar integral [c, d] da tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda I(y) funksiya ham [c, d] oraliqda I’(y) hosilaga ega bo’ladi va

munosabat o’rinlidir.

Bu teoremaga asosan

bo’ladi va Г(a) [a₀, b₀] da binobarin a nuqtaga uzluksizdir.

Xuddi shu yo’l bilan Г(a) funksiyaning ikkinchi, uchubchi va hokazo n-tartibdagi hosilasining mavjudligi, uzluksizligi hamda

Bo’lishini ko’rsatish mumkin.

3⁰ Г(a) funksiya uchun ushbu

ning yaqinlashuvchiligidan ning ham yaqinlashuvchi bo’lishi va Veyershtrass alomatiga muvofiq qaralayotgan integralning tekis yaqinlashuvchiligini topamiz. Shunga o’xshsash quyidagi integralga, integral ostidagi funksiya uchun barcha x≥1 da

bo’lib integralning yaqinlashuvchiligidan , yana Veyershtrass alomatiga ko’ra

integralning tekis yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.

Demak, [a₀,b₀] da integral tekis yaqinlashuvchi. U holda ushbu teoremani keltiramiz.

3-teorema. f(x,y) funksiya M={(x,y) to’plamda berilgan va uzluksiz bo’lsin, xususiy hosilaga ega va u ham uzluksiz hamda y o’zgaruvchining [c,d] dan olingan formula o’rinli.

Isbot. Agarda (1.2.2) dagi a ni a+1 bilan almashtirilsa

Bo’ladi, bu bo’laklab integrallansa,

Yoki (1.2.2) ga asosan (1.2.3) kelib chiqadi.

Bu tenglik ning asosiy xususiyatini ifoda qiladi. Bu formula bilan topishga imkoniyat beradi.

Masalan, (1.2.2) da a=1 faraz qilinsa,

bo’ladi. shuning uchun (1.2.3) dan

Г(2)=Г(1+1)=1Г(1)=1

Г(3)=Г(2+1)=2Г(2)=2*1

Г(4)=Г(3+1)=3Г(3)=3*2*1

Va umuman n butun musbat bo’lganda

Г(n)=1*2*3…(n-1)! (1.2.4)

ega bo’lamiz

4⁰ n butun va musbat bo’lganda Г(a) funksiya uchun ushbu

Formula o’rinli bo’ladi.

Isbot. Buni isbot qilish uchun (1.2.2) ga a=1/2 faraz qilinsa, u holda

bo’ladi. Bunda x=t² faraz qilamiz

Endi bu yerda t=ky(k>0) faraz qilamiz. Bu holda

(1.2.6) tenglikning ikkala tomonini ga ko’paytirib, so’ngra ikkala tomonini 0 dan +∞ gacha integrallaymiz va o’ng tomoniga integrallash tartibibni o’zgartiramiz. Bu holda

bu tenglikning o’ng tomonidagi qavsning ichidagi integralni quyidagicha topish mumkin.

Tenglikning chap tomoni bo’lsa, u

Demak,

Shuning bilan natijada

Bu tenglikka (1.2.3) formulani tadbiq qilsak,

va umuman n butun va musbat bo’lganda

Bo’lishi kelib chiqadi.

5⁰ Г(а) funksiya o’zgarishining borishi.

Endi Г(a) funksiyaning da grafigini yasaymiz. Buning uchun (1.2.3) va (1.2.4) formulalardan Г(1)=Г(2)=1 ekanini topamiz. Bundan Roll teoremasiga ko’ra, 1 bilan 2 ning orasida Г’(a) hosilaning a₀ ildizi yotadi. Bu holda 00 da kamayuvchi, a₀0=1,4616…, bo’lganda minГ(a₀)=0,8856… bo’ladi. a 0 da intiladi, a +∞ da ham Г(a) +∞ intiladi.

Chunki (1.2.4) ga muvofiq a>n+1 bo’lib, Г(a)>n! bo’ladi. Г(a) funksiyaninggrafigini keltiramiz.

1-chizma. Г(a) funksiyaning grafigi.