Matematik analiz fanidan

Asosiy qism.

Beta funksiya va uning xossalari.

Ma’lumki, ushbu

(1)

Chegaralanmagan funksiyaning xosmas integrali a>0,b>0 ya’ni

to’plamda yaqinlashuvchi. Ayni paytda bu integral a va b parametrlarga ham bog’liq.

1-ta’rif. (1) integral beta funksiya yoki I-tur Eyler integrali deb ataladi va B(a,b) kabi belgilanadi, demak,

.

Shunday qilib, B(a,b) funksiya fazodagi to’plamda berilgandir.

Endi B(a,b) funksiyaning xossalarini o’rganaylik.

1. 
   (1) integral
   

ixtiyoriy to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.

Isbot: Berilgan integralni tekis yaqinlashuvchilikka tekshirish uchun uni quyidagicha

= +

yozib olamiz. Ravshanki, a>0 bo’lganda integral yaqinlashuvchi, b>0 bo’lganda integral yaqinlashuvchi. Parametr qiymatlari va

uchun

bo’ladi. Veyershtrass alomatidan foydalanib, integralning tekis yaqinlashuvchi ekanini topamiz.

Shuningdek, parameter b ning qiymatlari va uchun

bo’ladi va Yana Veyershtrass alomatiga ko’ra integralning tekis yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.

Demak, integral va bo’lganda, ya’ni

to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.

2. 
   B(a,b) funksiya to’plamda uzluksiz
   

funksiyadir.

Isbot: Haqiqatdan ham,

Integralning to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’lishidan va integral ostidagi funksiyaning da uzluksizligidan B(a,b) funksiya

to’plamda uzluksiz bo’ladi.

3. 
   uchun B(a,b)=B(b,a) bo’ladi.
   

Isbot: Darhaqiqat integralda x=1-t almashtirish bajarilsa, unda

= =B(b,a)

bo’lishini topamiz.

4. 
   B(a,b) funksiya quyidagicha ham ifodalanadi:
   

Isbot: Haqiqatdan ham, (1) integralda almashtirish bajarilsa, u holda

bo’ladi.

5. 
   ( ) uchun
   

bo’ladi.

Isbot: (1) integralni bo’laklab integrallaymiz:

Agar ekanligini e’tiborga olsak, u holda

bo’lib, natijada

bo’ladi. Bu tenglikdan esa

(a>0,b>1)

bo’lishini topamiz.

Xuddi shunga o’xshash ( )

bo’ladi.

Gamma funksiya va uning xossalari

Bizga

(2)

xosmas integral berilgan bo’lsin.

2-ta’rif: (2) integral gamma funksiya yoki II-tur Eyler integrali deb ataladi va Г(a) kabi belgilanadi. Demak,





Shunday qilib, Г(a) funksiya oraliqda berilgandir. Endi Г(a) ning xossalarini o’rganaylik.

1. 
   (2) integral
   

Ixtiyoriy oraliqda tekis yqainlashuvchi bo’ladi.

Isbot: (2) integralni quyidagi ikki qismga ajratib,



ularning har birini alohida-alohida tekis yaqinlashuvchilikka tekshiramiz.

Agar sonini olib, parameter a ning qiymatlari qaralsa, unda barcha uchun bo’lib, veyershtrass alomatiga ko’ra



integral tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.

Agar sonni olib, parameter a ning qiymatlari qaraladigan bo’lsa, unda barcha uchun



bo’lib, integralning yaqinlashuvchiligidan yana veyershtrass alomatiga ko’ra

integral tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.

2. 
   Г(a) funksiya da uzluksiz hamda barcha tartibdagi uzluksiz
   

hosilalarga ega va

(n=1,2,…)

Isbot: nuqatni olaylik. Unda shunday oraliq topiladiki, bo`ladi.

Ravshanki,



Integral ostidagi funksiya to’plamda uzluksiz funksiyadir. (2) integral esa da tekis yaqinlashuvchi. U holda Г(a) funksiya da, binobarin a nuqtada uzluksiz bo’ladi.

(2) integral ostidagi funksiya

Hosilasining M to’plamda uzluksiz ekanligini payqash qiyin emas.

Endi



Integralni da tekis yaqinlashuvchi bo’lishini ko’rsatamiz.

Ushbu integral ostidagi funksiya uchun o da tengsizlik o’rinlidir. funksiya da chegaralanganligidan va integralning yaqinlashuvchiligidan ning ham yaqinlashuvchi bo’lishini va Veyershtrass alomatiga ko’ra qaralayotgan integralning tekis yaqinlashuvchiligini topamiz.

Shunga o’xshash quyidagi

integralda, integral ostidagi funksiya uchun barcha da

bo’lib, integralning yaqinlashuvchiligidan, yana Veyershtrass alomatiga ko’ra integralning tekis yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi. Demak, da integral tekis yaqinlashuvchi. Unda



bo’ladi va da binobarin, a nuqtada uzluksizdir.

Xuddi shu yo’l bilan Г(a) funksiyaning ikkinchi, uchinchi va hokazo tartibdagi hosilalarining mavjudligi, uzluksizligi hamda

(n=1,2,3,…)

bo’lishi ko’rsatiladi.

3.