Ii tur xosmas integrallar

1. 
   II tur xosmas integrallar. Endi chegaralanmagan funksiyalar
   

uchun aniq integral tushunchasini umumlashtiramiz. Berilgan y=f(x) funksiya
(a,b] yarim oraliqda chegaralanmagan, ammo ixtiyoriy uchun bu funksiya [a+ε,b] kesmada chegaralangan va integrallanuvchi bo‘lsin. Bu holda

funksiyani qarash mumkin.
5-TA’RIF: F(ε) funksiyaning ε→0+0 holdagi o‘ng limiti berilgan f(x) funksiyaning [a,b] kesma bo‘yicha II tur xosmas integrali deb ataladi.
Berilgan f(x) funksiyaning [a,b] kesma bo‘yicha II tur xosmas integrali quyidagicha belgilanadi va aniqlanadi:
(8)
limitga aytiladi.
6-TA’RIF: Agar (8) limit mavjud va chekli bo‘lsa, u holda II tur xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi. Aks holda bu xosmas integral uzoqlashuvchi dеb ataladi.
Misol sifatida ushbu II tur xosmas integralni ko‘ramiz:
. (9)
Bu yerda uch holni qaraymiz.

1. 
   Dastlab 0<α<1 holni tahlil etamiz:
   

.
Demak, bu holda (9) II tur xosmas integral yaqinlashuvchi va uning qiymati b^1–α .
2) Endi α=1 holni o‘rganamiz:
.
Demak, bu holda (9) II tur xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi.
3) α>1 holni qaraymiz:
.
Demak, bu holda ham (9) II tur xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Shunday qilib, (9) xosmas integral 0<α<1 holda yaqinlashuvchi, α≥1 holda esa uzoqlashuvchi ekan. Bu natijaning geometrik ma’nosi shundan iboratki, y=1/x^α , x=0, x=b>0, y=0 chiziqlar bilan chegaralangan cheksiz geometrik shaklning S yuzasi 0<α<1 holda chekli va S= b^1–α (keyingi betdagi 85-rasmga qarang), α≥1 holda esa bu shakl yuzasi cheksiz bo‘lar ekan.

85-rasm

y=f(x) funksiya [a,b) yarim oraliqda chegaralanmagan, ammo ixtiyoriy uchun bu funksiya [a,b–ε] kesmada chegaralangan va integrallanuvchi bo‘lsin. Bu holda f(x) funksiyaning II tur xosmas integrali quyidagicha kiritiladi:
.
Bu yerda ham tenglikning o‘ng tomonidagi limit mavjud va chekli bo‘lsa xosmas integral yaqinlashuvchi, aks holda – uzoqlashuvchi deyiladi.
Masalan,
.
Demak, bu II tur xosmas integral yaqinlashuvchi.
.
Demak, bu II tur xosmas integral uzoqlashuvchi.
Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmaning biror ichki x=c nuqtasida chegaralanmagan bo‘lsa, bu holda II tur xosmas integral
(10)
tenglik orqali kiritiladi. Bu xosmas integralning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo‘lishi 4-ta’rif singari aniqlanadi.
Masalan, xosmas integralni qaraymiz. Integral ostidagi funksiya c=0 nuqtada uzlukli va chegaralanmagan. Unda, (10) tenglikka asosan,
,
,
.

Demak, bu II tur xosmas integral uzoqlashuvchi ekan.

II tur xosmas integrallarning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini yetarli shartlari oldin I tur xosmas integrallar uchun ifodalangan 1-3 teoremalarga o‘xshash ifodalanadi.

2. 
   Aralash turdagi xosmas integrallar. Agar y=f(x) funksiya x=a nuqtada chegaralanmagan bo‘lsa, unda [a,+∞) yoki (–∞, a] cheksiz yarim oraliqlar bo‘yicha aralash turdagi xosmas integrallar
   

kabi aniqlanadi. Bunda tengliklarning o‘ng tomonidagi I va II turdagi xosmas integrallarning ikkalasi ham yaqinlashuvchi bo‘lsa aralash turdagi xosmas integral ham yaqinlashuvchi, aks holda esa uzoqlashuvchi deb hisoblanadi.
Masalan,

funksiya uchun xosmas integralni qaraymiz:
,
,
.
Demak, aralash turdagi I integral yaqinlashuvchi va uning qiymati I=I₁+ I₂=3 .
Xuddi shunday tarzda aralash turdagi

xosmas integrallar uzoqlashuvchi ekanligini ko‘rsatish mumkin va bu o‘quvchiga mustaqil ish sifatida havola etiladi.