Ma'ruza matni (MA'ruzalar matni, O'quv qo'llanmalar)

3.

TA'RIF. Erkli o‘zgaruvchi va noma'lum funksiya xamda uning xosilalari yoki differensiallarini

bog‘lovchi munosabat differensial tenglama deyiladi.
Agar no'malum funksiya faqat bitta o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lsa, bunday differensial tenglama
oddiy differensial tenglama deyiladi.
Agar no'malum funksiya ikki yoki undan ortiq o‘zgaruvchilarga bog‘liq bo‘lsa, bunday
differensial tenglama xususiy xosilali differensial tenglama deyiladi.
TA'RIF. Differensial tenglamaga kirgan hosilalarning eng yuqori tartibi tenglamaning tartibi
deyiladi.
Misollar.

1)
2)

3)
ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama.

birinchi tartibli oddiy differensial tenglama

birinchi tartibli xususiy xosilali differensial tenglama bo‘ladi.

TA'RIF. Differensial tenglamaning yechimi yoki integrali deb tenglamaga qo‘yganda uni ayniyatga

aylantiradigan xar qanday differensiallanuvchi

funksiyaga aytiladi.

TA'RIF. Differensial tenglama yechimining grafigi integral egri chiziq deyiladi.

3 3

MA'RUZA 2


MAVZU: O‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar.
Reja:
1. Birinchi tartibli differensial tenglama.
2. O‘zgaruvchilari ajralgan differensial tenglama.
3. O‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama.


1. Birinchi tartibli oddiy differensial tenglama umumiy ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:
(1)
-erkli o‘zgaruvchi, -no'malum funksiya
-no'malum funksiya hosilasi
Agar (1) ni ga nisbatan yechish mumkin bo‘lsa, u holda

(2) bo‘ladi
(2)

(2) dan differensial ishtirok etgan ko‘rinishga o‘tish oson, ya'ni

(3)
ko‘rinishga ega.

Haqiqatan, agar
desak,
bu yerdan

va aksincha (3) dan (2) ga o‘tish oson.
Differensial tenglamani umuman aytganda, bitta funksiya emas, balki funksiyalarning butun bir

to‘plami qanoatlantirishi mumkin. Ulardan birini ajratib ko‘rsatish kerak, yani

bo‘lganda

quyidagicha yoziladi:

ko‘rinishdagi shart berilishi kerak. Bu shart boshlang‘ich shart deyiladi va

(2) , (4) masala Koshi masalasi deyiladi.

Teorema: ( yechimning E va ! xaqidagi teorema) Agar

nuqtani o‘z ichiga olgan

soxada

funksiya uzluksiz va uzluksiz

xususiy xosilaga ega bo‘lsa, u

xolda (2) differensial tenglamaning (4) boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi

yechimi
va ! bo‘ladi.

Ta'rif:
Birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi deb quyidagi shartlarni
qanoatlantiruvchi funksiyaga aytiladi:

a)
ixtiyoriy o‘zgarmas
ning xar qanday qiymatida differensial tenglamani qanoatlantiradi.

4 4

b) boshlang‘ich

0 shart xar qanday bo‘lganda xam o‘zgarmas
ning shunday

qiymatini topish mumkinki,

ya'ni

funksiya berilgan boshlang‘ich shartni qanoatlantiradi,

Ta'rif: Differensial tenglamaning umumiy yechimidan o‘zgarmasning mumkin bo‘lgan qiymatlarida
xosil qilinadigan yechimlar xususiy yechimlar deyiladi.
2. Differensial tenglamaning eng sodda turi o‘zgaruvchilari ajralgan tenglamadir. Uning umumiy
ko‘rinishi:
(5)

Bu tenglamaning muximligi shundaki
oldidagi funksiya faqat
ga bog‘liq,
oldidagi

funksiya faqat ga bog‘liq.
integrallash orqali xosil qilinadi:
Bu tenglamaning umumiy yechimini topish uchun, uni xadlab

Bu yerda o‘zgarmas

1-misol.

ni berilgan tenglama uchun qulay bo‘lgan istalgan ko‘rinishida olish mumkin.

Bu markazi koordinatalar boshida bo‘lgan, radiusi

bo‘lgan konsentrik aylanalar oilasidan iborat.

(6)

3. Ko‘rinishdagi differensial tenglama o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglama deyiladi.

(6) da

ifodaga bo‘lib, uni o‘zgaruvchilari ajralgan (5) tenglamaga keltirish mumkin:

buni esa integrallab umumiy yechim topiladi.

Ushbu ko‘rinishdagi tenglama xam o‘zgaruvchilari ajraladigan

desak, u xolda

integrallasak

bo‘ladi.

2-misol. quyidagi differensial tenglamani umumiy yechimini toping.
integrallaymiz.
5 5
tenglamadir.