Maruza mashg’ulotlari

Logranj interpolyatsion koʻphadi asosida sonli differensiallash formulasi va hatoliklarini baholash. Bizga y(x) funksiyaning [a,b] oraliqda teng uzoqlikda joylashgan x_i (i=0, 1, 2, ...,n ) nuqtalarda y_i=y(x_i) qiymatlari bilan berilgan boʻlsin. [a, b] oraliqda funksiyaning , hosilalarini topish uchun,
y(x) funksiyani x₀, x₁,...,x_k (kn) nuqtalardagi Logranj interplyasion formulasi (polinumi) bilan almashtiramiz va quyidagiga ega boʻlamiz:

Bu yerda u holda

Shunday qilib dan foydalansak

va
ekanligi kelib chiqadi. Demak, Logranj interpolyatsion koʻphadi uchun
Endi
, ekanligidan foydalanib quyidagiga ega boʻlamiz
Shu tartibda davom ettirilib berilgan y(x) funksiyaning yuqori tartibli hosilasi topiladi. Hatoligini baholash uchun, umumiy hatolik formulasidan foydalanamiz ya’ni
r_n(x)=y^’(x)-L_x^’(x)
Buning uchun interpolyatsion koʻphad hatoligini topish formulasini qoʻllaymiz

Bu yerda  - x₀, x₁, x₂,...x_k orasidagi ixtiyoriy son. Shu sababli
y(x)C^(k+2) ekanligini hisobga olsak u holda quyidagiga ega boʻlamiz:

1.11 formuladan foydalansak berilgan nuqtadagi hatolik formulasini quyidagicha yozish mumkin:

Aniq integralni taqriban hisoblash usullari
To‘g‘ri to‘rtburchaklar usuli. Integral tarixan egri chiziqlar bilan chegaralangan figuralarning yuzini, xususan egri chiziqli trapesiyaning yuzini hisoblash munosabati bilan kelib chiq=an. Trapesiyaning asosi bo‘lgan [a;b] kesmani x₁, x₂, …, x_n-1 nuqtalar bilan n ta kesmalarga bo‘lamiz. U holda bo‘linish oralig‘i uzunligi h=(b-a)n formula bilan ifodalanadi. x₀=a desak, x_i=x_i-1+h nuqtalarni belgilab olamiz, bunda i=1,2,3,…n. x₁, x₂, x₃, …, x_n nuqtalardan chegaraviy egri chiziq bilan kesishgunga qadar vertikal parallel to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazamiz va kesishish nuqtalarining ordinatalarini quyidagicha u(x₁), u(x₂), …, u(x_i), … kabi belgilaymiz. Har bir oraliqdagi ordinatasi uzunligi u(x_i) ga teng to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzalarini topamiz.

n ta to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzini qo‘shamiz:

Yuzalarni hisoblashda k=1,2,…n deb olsak, vertikal to‘g‘ri chiziqlarga nisbatan o‘ng tomondagi to‘g‘ri to‘rtburchaklar olingani uchun o‘ng to‘g‘ri to‘rtburchaklar usulining formulasi kelib chiqadi:

i=1,2,…,n-1 deb olsak, vertikal to‘g‘ri chiziqlarga nisbatan chap tomondagi to‘g‘ri to‘rtburchaklar olingani uchun chap to‘g‘ri to‘rtburchaklar usulining frmulasi kelib chiqadi.
;

To‘g‘ri to‘rtburchaklar usulining algoritmi

algoritm asosida paskal dasturlah tilidagi dasturi

program Turtburchakli yuza;
var a,b,s, h:real;
n,k:byte;
function F(x:real):real;
begin F:=.... end;
begin writeln ('a,b='); readln (a,b);
writeln('n='); readln (n);
h:=(b-a)/n;
s:=0;
for k:=0 to n-1 do
s:=s+f(a+k*h);
s:=s*h;
writeln('íàòèæà=',s);
end.