Nyutonning birinchi interpolyatsion koʻphadi asosida sonli differensiallash formulasi. Bizga y(x) funksiyaning [a, b] oraliqda teng uzoqlikda joylashgan ( 0, 1, 2, ...,n ) nuqtalarda yi=f (xi) qiymatlari bilan berilgan boʻlsin.
Berilgan [a, b] oraliqda funksiyaning , ,... hosilalarini topish uchun, y(x) funksiyani x0,x1,x2,...xk, (kn) nuqtalardagi Nuyoton interpolyatsion formulasi bilan almashtiramiz va quyidagiga ega boʻlamiz:
bu yerda , h=xi+1-xi; i=0,1,2,….
Binom koʻpaytmalarni qavsdan ochsak quyidagini hosil qilamiz:
Shunday qilib
. U holda
Shu tarzda ekanligidan
kelib chiqadi. Shu usul bilan y(x) funksiyaning ixtiyoriy tartibli hosilasini hisoblash imkoniga ega boʻlamiz.
E’tibor bersak, x ning belgilangan nuqtasidagi , … hosilalarini topishda x0 sifatida argumentning jadvalli qiymatiga yaqinini olishimizga toʻgʻri keladi.
Ba’zan, y(x) funksiyaning hosilasini topishda asosan berilgan xi nuqtalardagi foydalaniladi. Bunda sonli differensiallash formulasi bir muncha qisqaradi. Shu tarzda jadvalli qiymatning har bir nuqtasini boshlangʻich nuqta deb faraz qilib olsak, unda x=x0 q0 koʻrinishda yozsa boʻladi va quyidagiga ega boʻlamiz:
.
Agar Pk(x) -Nyuton interpolyatsion koʻphadining chekli ayirmalari va mos ravishda hatoligi Rk(x)=y(x)-Pk(x) boʻlsa,
unda hosilasining hatoligi
Rk’(x)=y’(x)-Pk’(x) oʻladi.
Oldingi mavzulardan ma’lumki
Bu yerda - x0, x1, x2,…xk orasidagi ixtiyoriy son. Shu sababli
Y(x)C(k+2) koʻzlasak u holda quyidagiga ega boʻlamiz:
Shu yerdan x x0, va q0 hamda ekanligini bilib quyidagiga ega boʻlamiz:
Shunday qilib koʻpgina hollarda baholash qiyinchilik tugʻdiradi, lekin h ning kichik yaqinlashishida quyidagicha hisoblash mumkin:
demak
Nyutonning ikkinchi interpolyatsion koʻphadi asosida sonli differensiallash formulasi. Funksiyani oxirgi nuqtalardagi birinchi interpolyatsion koʻphad orqali ifodalash amalyotda noqulayliklar tugʻdiradi . Bunday hollarda Nyutonning ikkinchi interpolyatsiyasi orqali ifodalash kerak boʻladi. Sonli differensiallash jarayoni huddi birinchi interpolyatsion shaklda keltirib chiqariladi.
Bunda ham y(x) funksiyaning [a,b] oraliqda teng uzoqlikda joylashgan xi (0, 1, 2,...,n) nuqtalarda yi =f(xi) qiymatlari bilan berilgan boʻlsa,
, … hosilalarini topish uchun, y(x) funksiyani x0, x1,...,xk (kn) nuqtalardagi Nuyotonning ikkinchi interplyasion formulasi (polinumi) bilan almashtiramiz va quyidagiga ega boʻlamiz:
bu yerda , h=xi+1-xi; i=0,1,2,….
Binom koʻpaytmalarni qavsdan ochsak quyidagini hosil qilamiz:
Shunday qilib
. U holda
Shu tarzda ekanligidan
kelib chiqadi. Shu usul bilan y(x) funksiyaning ixtiyoriy tartibli hosilasini hisoblash imkoniga ega boʻlamiz.
E’tibor bersak, x ning belgilangan nuqtasidagi , … hosilalarini topishda x0 sifatida argumentning jadvalli qiymatiga yaqinini olishimizga toʻgʻri keladi
Ba’zan, y(x) funksiyaning hosilasini topishda asosan berilgan xi nuqtalardagi foydalaniladi. Bunda sonli differensiallash formulasi bir muncha qisqaradi. Shu tarzda jadvalli qiymatning har bir nuqtasini boshlangʻich nuqta deb faraz qilib olsak, unda x=xn q0 koʻrinishda yozsa boʻladi va quyidagiga ega boʻlamiz:
.
Agar Pk(x) -Nyuton interpolyatsion koʻphadining chekli ayirmalari va mos ravishda hatoligi Rk(x)=y(x)-Pk(x) boʻlsa,
unda hosilasining hatoligi
Rk’(x)=y’(x)-Pk’(x) oʻladi.
Oldingi mavzulardan ma’lumki
Bu yerda - x0, x1, x2,…xk orasidagi ixtiyoriy son. Shu sababli
Y(x)C(k+2) koʻzlasak u holda quyidagiga ega boʻlamiz:
Shu yerdan x x0, va q0 hamda ekanligini bilib quyidagiga ega boʻlamiz:
Shunday qilib koʻpgina hollarda baholash qiyinchilik tugʻdiradi, lekin h ning kichik yaqinlashishida quyidagicha hisoblash mumkin:
demak
Misol. Jadvalda keltirilgan ylgx funksiyaning qiymatlaridan foydalanib y(50) ning qiymatini birinchi interpolyatsion almashtirishda foydalanib hisoblang.
x
|
y
|
∆y
|
∆2y
|
∆3y
|
50
55
60
65
|
1.6990
1.7404
1.7782
1.8129
|
414
378
347
|
-36
-31
|
5
|
Yechish. Bu yerda h=5. Keltirilgan jadvalning oxirgi 3 ta ustunini chekli ayirmalar bilan toʻldiramiz. Yuqoridagi formulalardan foydalanib hisoblasak quyidagiga ega boʻlamiz:
y’(50)=1/5 (0,0414+0,0018+0,0002) =0,0087
Haqiqatdan ham
.
Koʻrinib turibdiki sonli usuldagi hisob natijasi bilan analitik usuldagi hisob natijalarning 4 xona aniqlikdagi yaxlitlangan qiymatlari bir xil.
Do'stlaringiz bilan baham: |