Ma’ruza 8 n-tartibli determinant tushunchasi n-tatibli determinant xossalari. Minorlar va algebraik to’ldiruvchilar. Laplas teoremasi. Matrisalar algebrasi. Teskari matrisa tushunchasi

Lemma 8.10.
ko’paytmaning hadlari 
determinantning hadlari
bo’lib, ular bir xil ishorali bo’ladi.
Endi umumiy holni qaraymiz, ya’ni 
minor 
nomerli satrlarda
va 
ustunlarda joylashgan bo’lib,
bo’lsin. U holda 
satrlarda va 
ustunlarda mos ravishda 
va 
almashtirishlar bajarib, bosh
minorga olib kelamiz. Hosil bo’lgan 
determinant oldingi 
determinant
bilan faqat 
ishorasi bilangina farq qiladi, ya’ni bunda
bo’lib,
bo’ladi va demak

---

hosil bo’lib, 
minor esa bosh minor va demak biz lemma 22.1. holga kelamiz.
Shunday qilib, biz quyidagi lemmani isbot qildik.
Lemma 8.11.
Determinantning ixtiyoriy minorini o’z algebraik
to’ldiruvchisiga ko’paytmasidagi har bir hadlar bir xil ishora bilan
determinantning hadi ham bo’ladi.
Endi biz determinantni bir nechta satri yoki ustuni bo’yicha yoyish
haqidagi va Laplas nomi bilan yuritiluvchi teoremani keltiramiz.
Teorema 8.12. 
(Laplas teoremasi) Determinantning tanlab olingan ta (
) satri (yoki ustuni) bo’yicha barcha minorlarining o’z algebraik
to’ldiruvchilarining yig’indisi determinantga teng bo’ladi.
Isbot
. 
 
Teoremaning shartiga asosan biz
(2)
yoyilmani to’g’ri ekanligini ko’rsatishimiz kerak, bu yerda 
lar tanlab
olingan 
satrlar bo’yicha olingan barcha minorlar va lar minorlarga
oid algebraik to’ldiruvchilardir.
Lemmalarga asosan 
ko’paytmalarning har bir hadi
determinantning hadi bo’lib, ular bir xil ishorali bo’ladi. Endi biz
determinantning ixtiyoriy
hadi bo’lsin. Bu ko’paytmadan biz tanlab olingan 
satrlarga tegishli
bo’lgan elementlarning ko’paytmasini olamiz:
.
Bu ko’paytma 
satrlar va 
ustunlarning
kesishmasida turuvchi tartibli 
minorning umumiy hadi bo’lib, olinmay
qolgan ko’paytuvchilar 
tartibli 
to’ldiruvchi minorning umumiy hadi
bo’ladi.
Shunday qilib, determinantning har qanday hadi tanlab olingan satrlar
bo’yicha 
minor bilan to’ldiruvchi 
minorining tarkibiga kiradi. Nihoyat,
determinantda qanday bo’lgan hadni hosil qilish uchun, to’ldiruvchi minorni
algebraik minor bilan almashtirish kerak. Endi biz (2) yig’indidagi hadlar soni 
nechaga teng bo’lishligini ko’rsatamiz. Bizga ma’lumki, 
minorda hadlar,

---

 algebraik to’ldiruvchilarda 
hadlar bo’lib, 
ko’paytmada esa 
hadlar ishtirok etadi va determinantning o’zida 
hadlar
bo’lganligidan quyidagi tenglikni hosil qilamiz:
,
bundan
formulani hosil qilamiz. Teorema to’liq isbot bo’ldi.
Misol
. Ushbu
tartibli determinantni hisoblaymiz. Bu determinantni qulay joylashgan
nollari bo’lmish 
ta birinchi va uchinchi satrlari bo’yicha yoyib
hisoblaymiz. Shunday qilib,
bo’lib,
ekanligini topamiz.

---

Misoldan ko’rinib turibdiki, nollar qatnashgan minorlar nol bo’lganligi
tufayli birdaniga nollar ishtirok etmagan ko’paytmani, ya’ni bizning misolimiz
bitta ko’paytmani yozib hisoblash lozim edi.
Laplas teoremasidan foydalanib, determinantlarni hisoblash amalda ancha
hisoblash nuqtai nazaridan ancha murakkab masala bo’lib, hisoblashni
almashtirish uchun determinantda yetarlicha nollar ishtirok etish uni ancha tezlik
va osonlik bilan hisoblashimiz mumkin. Bu masalani hal qilish uchun biz
determinantning xossalaridan foydalanib, unga yetarlicha nollarni hosil
qilishimiz, so’ngra Laplas teoremasini qo’llab osonlik bilan determinantlarni
hisoblashimiz mumkin. Bu masala o’z navbatida berilgan halqada elementlariga
teskari elementlari mavjudligiga olib keladi. Agar biz determinantlarni
maydonlarda, xususan 
va hokazo sonli maydonlar ustida qarasak
determinantda nollar paydo bo’lishligini ko’p bo’lishligini ta’minlab olamiz. Biz
bilgan va o’rgangan 
butun sonlar halqasida teskarilanuvchi elementlar ikkita
1 va -1 bo’lishligiga qaramay bu yerda ham 
halqani xossalardan: qoldiqli
bo’lish, Yevklid algoritmi va EKUBni sonlar orqali chiziqli ifodalash foydalanib
determinantda ancha nollar paydo qildirishimiz mumkin. Tabiiyki, 
halqada
bu ancha murakkabroq, lekin 
maydonda bu muammo ancha yaxshi
natijalarni beradi.
Bunday muammolar tabiiyki, chiziqli tenglamalar sistemasini yechilish
masalasi qo’llanadigan Gauss metodida ham mavjuddir.