Ma’ruza 8 n-tartibli determinant tushunchasi n-tatibli determinant xossalari. Minorlar va algebraik to’ldiruvchilar. Laplas teoremasi. Matrisalar algebrasi. Teskari matrisa tushunchasi

Xossa 8.5.
Determinantning ixtiyoriy ikkita satrlarini o’rnini almashtirish
natijasida uning faqat ishorasigina o’zgaradi, ya’ni
.
Isbot. Agar 
birinchi determinant umumiy hadi bo’lsa,
satrlar almashtirishlarda hosil bo’lgan determinantning umumiy hadi
bo’ladi. Bu hadlarga oid o’rniga qo’yishlarni qarasak:
va 
larning ishorasi bir-biriga qarama-qarshi bo’ladi, 
o’rin
almashtirishlarni 
nchi va 
nchi elementlarini o’rinlarini almashtirish
(tranpozisiyalash) natijasida ularning signaturasi qarama-qarshi ishora bilan
o’zgaradi. Shunday qilib, determinantlarning umumiy hadlari qarama-qarshi
ishora bilan va demak determinantni o’zlari bir-biriga qarshi ishorali bo’ladi.
Bu xossadan to’g’ridan-to’g’ri quyidagi xossani hosil qilamiz:
Xossa 8.6.
Bir xil satrlarga ega bo’lgan determinant nolga teng.
Isbot. Faraz qilaylik, determinant ikkita 
nchi va 
nchi satrlari teng
bo’lsin. U holda oldingi xossaga asosan bu satrlarni o’rinlarini almashtirish
natijasi unga ishorasi qarama-qarshi bo’lgan determinantni hosil qilamiz va ular
aynan tengdir, ya’ni 
bo’lib, bundan
hosil bo’ladi.
Shuni ta’kidlaymizki, 
dan hamma vaqt ham 
kelib
chiqaveradi. Buning uchun 
maydon nol xarakteristikali yoki maydon
kengaytmasi bo’lgan halqa nol xarakteristikali halqa bo’lishi kerak.

---

Xossa 8.3 va xossa 8.6. lardan quyidagi xossani hosil qilamiz:
Xossa 8.7. 
Proporsional satrlarga ega bo’lgan determinant nolga teng.
Isbot.
determinantda 
nchi va 
nchi satrlar proporsional bo’lsin, ya’ni qandaydir 
element uchun
o’rinli bo’lsin. U holda 
nchi satrlardan 
ni determinant belgisidan
tashqariga chiqarsak, hosil bo’lgan determinantning 
nchi va 
nchi satrlari
bir xil bo’ladi va demak bu determinant nolga teng.