Ma’ruza №2 2-mavzu. To`plamlarning kesishmasi, birlashmasi, ikki to`plamning ayirmasi, universal to`plamgacha to`ldiruvchi to`plam. To`plamlarning dekart ko`paytmasi. To`plamlar ustidagi amallarning xossalari

_1-Eslatma. va to‘plamlarning aqalli bittasida ikkinchisiga kirmaydigan elementlar mavjud bo‘lsa, va ni tengmas to‘plamlar deymiz, uni quyidagicha belgilaymiz:

To’plamlar ayirmasining xossalari va tasviri (I.7-rasm):

1°.A∩B =∅ A\B = A (I.7-arasm).

2°. B A ⇒A\B = (I.7-d rasm).

3°. A = B⇒A\B =∅ (I.7-e rasm).

4°. A\(B∪C) = (A\B)∩(A\C) =A\B\C.

5°. A\(B∩C) = (A\B)∪(A\C).

6°. .

7°. .

6- va 7-xossalar De-Morgan qonunlarideyiladi.

4- va 5-xossalarning o’rinli ekanligiga Eyler — Venn diagrammalarida tasvirlash orqali ishonch hosil qilish mumkin.

Let x ∈ (A ∪ B)′. Then x is not in A∪ B, which means that x is not in A and that x is not in B, i.e., x ∈ A′ ∩ B′. This proves that (A ∪ B)′⊆ A′ ∩ B′. Conversely, if x∈ A′ ∩ B′, then x is not in A and that x is not in B, and so x is not in A ∪ B. But this says that x ∈ (A ∪ B)′, proving that (A ∪ B)′ ⊆ A′ ∩ B′. It follows, therefore, that (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′.

6-xossani quyidagicha isbotlaymiz. x∈(A∩B)′bo’lsin. Bundan x∈A∩B ekani kelib chiqadi. Kesishma ta’rifiga ko’ra x∉A yoki x∉B degan xulosaga kelamiz, bundan esa x∈A′ yoki x∈B′ ekani kelib chiqadi. x∈A′ yoki x∈B′ bo’lsa, birlashma ta’rifiga ko’ra x∈A′∪B′ bo’ladi. Ikkinchi tomondan x∈A′∪B′ bo’lsin. U holda birlashma ta’rifiga ko’ra x∈A′ yoki x∈B′ ekani kelib chiqadi, x∈A′ ekanidan x∉A va x∈B′ ekanidan x∉B degan xulosaga kelamiz, x∉A va x∉B bo’lsa, x∉A∩B bo’ladi, bu esa x∈(A∩B)′ ekanligini ko’rsatadi. Demak, (A∩B)′ va A′∪B′ to’plamlar bir xil elementlardan tashkil topgan va shuning uchun ham teng ekan⁴.

7°-xossa ham xuddi shunday isbotlanadi.

Ta’rif. va to`plamlarning simmetrik ayirmasi dеb shunday to`plamga aytiladiki, u yoki ayirmalarga tegishli bo`lgan hamma elеmеntlaridangina tuziladi va quyidagicha bеlgilanadi: .

To`plamlarning simmetrik ayirmasi rasmda ko`rsatilgan shtriхlangan sohani bildiradi.


Nazorat uchun savollar:

1. 
   To’plamlar ayirmasining ta’rifini berng.
   
2. 
   Xossalarini ayting va asoslang.
   
3. 
   To’ldiruvchi to’plam ta’rifini bering.
   

4. To’ldiruvchi to’plam xossalarini ayting va asoslang.

Mustaqilishuchuntopshiriqlar

1. 
   To’plamlarning kesishmasi, birlashmasiga ta’rif bering.
   
2. 
   To’plamlarning kesishmasi, birlashmasiga misollar keltiring.
   
3. 
   Misollarni Eyler-Venn diagrammasida tasvirlang.
   

5.To‘plamlarning dekart (to‘g‘ri) ko‘paytmasi. va to‘plamlarning to‘g‘ri ko‘paytmasi deb shunday to‘plamga aytiladiki, u to‘plam elementlari tartiblangan juftliklardan iborat bo‘lib, bu juftni birinchisi to‘plamdan, ikkinchisi esa to‘plamdan olinadi. To‘g‘ri ko‘paytma ko‘rinishda belgilanadi.

Misol: va to‘plamlar berilgan bo‘lsin. U holda va to‘plamlarning to‘g‘ri ko‘paytmasi quyidagicha bo‘ladi:



Agar biz to‘g‘ri ko‘paytma elementi dagi ni biror nuqtani abssissasi, ni esa ordinatasi desak, u holda bu to‘g‘ri ko‘paytma tekislikdagi nuqtalar to‘plamini ifodalaydi.

Boshqacha aytganda haqiqiy sonlar to‘plami ni ga to‘g‘ri ko‘paytmasi ni tasvirlaydi.

Ta’rif. A va B to’plamlarning dekart ko’paytmasi deb, 1-elementi A to’plamdan, 2-elementi B to’plamdan olingan (a; b) ko’rinishdagi barcha tartiblangan juftliklar to’plamiga aytiladi. Dekart ko’paytma A ×B ko’rinishda belgilanadi: A×B = {(a; b) | a∈Avab∈B}.

M asalan: A = {2; 3; 4; 5}, B = {a; b; c} bo’lsa, A × B = {(2; a), (2; b),(2; c),(3; a),(3; b),(3; c),(4; a),(4; b),(4; c),(5; a), (5; b),(5; c)} bo’ladi.

Sonli to’plamlar dekart ko’paytmasini koordinata tekisligida tasvirlash qulay. Masalan, A = {2;3; 4}, B = {4; 5} bo’lsin, u holdaA × B = {(2; 4), (2; 5), (3; 4), (3; 5); (4; 4), (4; 5)} bo’ladi.

K
3
oordinata tekisligida shunday koordinatali nuqtalarni tasvirlaymizki, bunda A to’plam Ox o’qida va B to’plam Oy o’qida olinadi.

A={-2;2}; B=RA=[-2;4]; B=R



6.Dekart ko’paytmaning xossalari:

1°.A×B≠B×A.

2°.A ×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).

3°. A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C).

We have already encountered an elementary construction on a givenset: that of the power set. That is, ifS is a set, then 2^S is the set of all subsets of the set S. Furthermore, we saw in the theorem onpage 189 that if S is a finite set containing n elements, then thepower set 2^S contains 2ⁿ elements (which motivates the notation in the first place!). Next, let A and B besets. We form the Cartesian product A × B to be the set of all ordered pairs of elements (a, b) formed by elements of A and B, respectively. More formally,

A × B = {(a, b) | a ∈ A and b ∈ B}.

From the above, we see that we can regard the Cartesian plane R² as the Cartesian product of the real line R with itself: R² = R × R. Similarly, Cartesian 3-space R³ is just R × R ×R.
Ikkitadan ortiq to’plamlarning dekart ko’paytmasini ham qarash mumkin. Umumiy holda A₁ A₂ ..., A_n to’plamlar berilgan bo’lsin. Ularning dekart ko’paytmasi A₁×A₂×...,×A_n= {(a₁ a₂; ..., a_n) | a₁∈A₁,a₂∈A₂, ..., a_n∈A_n dan iborat bo’ladi. (a₁; a₂; ..., a_n) tartiblangan n lik deyiladi. (Masalan, uchlik, to’rtlik va h.k.). bunday tartiblangan n lik n o’rinli kortej deb ham ataladi. Yana n o’rinli kortejlar faqat bitta to’plam elementlaridan tuzilgan bo’lishi ham mumkin, bu holda u to’plamni o’z-o’ziga n marta dekart ko’paytmasi elementidan iborat bo’ladi.

Yuqorida aytilganlardan xulosa qilsak, Dekart koordinata tekisligini haqiqiy sonlar to’plami R ni o’ziga-o’zining dekart ko’paytmasi R²=R×R, koordinata fazosini R³ =R×R×R deb qarash mumkinligi kelib chiqadi.⁵

A va B to’plamlarning to’g’ri (dekart) ko’paytmasi ko’rinishida belgilanib, u quyidagicha aniqlanadi: .

Masalan,1. .

2. ⁶

to’plamlarning to’g’ri (dekart) ko’paytmasi esa quyidagicha aniqlanadi:

.

Agar bu to’plamlar bir-biriga teng bo’lsa, ni ko’rinishida yozishimiz mumkin, ya’ni , shuningdek n=1 hol uchun

tenglikka ega bo’lamiz. Agar dagi binar munosabat f uchun va dan kelib chiqsa, u holda A to’plamni B to’plamga o’tkazuvchi funktsiya (akslantirish) berilgan deyiladi. Odatda ni ko’rinishda belgilaymiz.⁷

7.To‘plamlarni sinflarga ajratish.

Ta’rif: to‘plam quyidagi 2 shartni qanoatlantirsa u sinflarga ajratilgan deyiladi.

1) qism to‘plamlar jufti-jufti bilan o‘zaro kesishmasa, ya’ni , bu yerda va ;

2) qism to‘plamlarning birlashmasi to‘plam bilan mos tushsa ya’ni

To‘plamlarni sinflarga ajratish masalasi klassifikatsiya deyiladi. Klassifikatsiya – bu sinf ichida ob’ektlarning o‘xshashligi va ularning boshqa sinflardagi ob’ektlardan farq qilishi asosida sinflar bo‘yicha ob’ektlarni ajratish amalidir.

Agar yuqoridagi shartlardan aqalli bittasi bajarilmasa, klassifikatsiya noto‘g‘ri hisoblanadi.

Masalan: uchburchaklarning to‘plamini uchta sinfga ajratish mumkin: o‘tkir burchakli, to‘g‘ri burchakli, o‘tmas burchakli uchburchaklar. Haqiqatan ham, ajratilgan to‘plam ostilari jufti-jufti bilan kesishmaydi. Boshqacha aytganda, birinchidan, o‘tkir burchakli uchburchaklar ichida o‘tmas va to‘g‘ri burchakli uchburchaklar yo‘q, to‘g‘ri burchakli uchburchaklar ichida o‘tkir va o‘tmas burchakli uchburchaklar yo‘q, shuningdek o‘tmas burchakli uchburchaklar ichida o‘tkir va to‘g‘ri burchakli uchburchaklar yo‘q.

Ikkinchidan, o‘tkir, to‘g‘ri va o‘tmas burchakli uchburchaklar birlashmasi uchburchaklar to‘plami to‘plam bilan mos tushadi.

To‘plamlarni sinflarga ajratishda sinflar soni chekli yoki cheksiz bo‘lishi mumkin.

Masalan: Natural sonlar to‘plamini bir necha usul bilan sinflarga ajratish mumkin.

1. 
   toq va juft sonlar sinfi;
   
2. 
   tub va murakkab sonlar sinfi;
   
3. 
   bir xonali, ikki xonali, uch xonali,…,xonali sonlar sinfi:
   

Bunda 1. va 2. holda sinflar soni chekli; 3.- holda sinflar soni cheksiz.

Shuning bilan birga berilgan to‘plamning har qanday qism to‘plamlari sistemasi ham to‘plamni sinflarga ajratishni ifodalayvermasligini qayd qilish kerak.

Masalan: uchburchaklar to‘plamidan, teng yonli, teng tomonli, turli tomonli uchburchaklar to‘plam ostilarini olsak, u holda u to‘plamni sinflarga ajrata olmaydi, chunki birinchi shart bajarilmaydi. Chunki teng yonli va teng
tomonli uchburchaklar to‘plami ostilari kesishadi, ya’ni hamma teng tomonli uchburchaklar teng yonli uchburchaklardir.

8.To’plamlarni bitta, ikkita va uchta xossaga ko’ra sinflarga ajratish To‘plamlarni qism to‘plamlarga ajratish uchun, qism to‘plam elementlarini xarakteristik xossalarini ko‘rsatish kerak. To‘plamlarni bitta, ikkita, uchta xossasiga ko‘ra sinflarga ajratishni qaraymiz.

Aytaylik, to‘plam va biror xossa berilgan bo‘lsin. to‘plam elementlari xossaga ega bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin. Bu holda to‘plam o‘zaro kesishmaydigan ikkita va to‘plam ostilarga ajraladi.

B to‘plam to‘plamning xossasiga ega bo‘lgan elementlari to‘plami, to‘plam to‘plamning xossasiga ega bo‘lmagan elementlari to‘plami va

Agar to‘plamning hamma elementlari xossaga ega bo‘lsa, u holda bo‘ladi, agar to‘plamning hamma elementlari xossaga ega bo‘lmasa bo‘ladi.

Agar va to‘plamlar bo‘sh bo‘lmasa, u holda to‘plamni Eyler Venn diagrammasi yordamida quyidagicha tasvirlash mumkin. (9-chizma)



9-chizma
Masalan: – auditoriyadagi talabalar to‘plami, -sinovlarni topshirganlik xossasi bo‘lsa, -sinovlarni topshirgan, esa sinovlarni topshirmagan talabalar to‘plami bo‘ladi.

Endi to‘plamni ikkita xossaga ko‘ra sinflarga ajratishni qaraymiz.

to‘plam va xossalar berilgan bo‘lsin. to‘plam elementlari xossalarga ega bo‘lishi, bo‘lmasligi ham mumkin.

a) xossaga ega bo‘lgan va xossaga ega bo‘lmagan elementlar to‘plami – 1 sinf;

b) xossaga ega bo‘lmagan va xossaga ega bo‘lgan elementlar to‘plami – 2 sinf;

v) va xossalarga ega bo‘lgan elementlar to‘plami – 3 sinf;

g) va xossalarga ega bo‘lmagan elementlar to‘plami – 4 sinf.

Bu sinflardan ayrimlari bo‘sh to‘plam ham bo‘lishi mumkin. Bu 4 ta sinf Eyler-Venn diagrammasi yordamida quyidagicha tasvirlanadi. (10-chizma)



10-chizma

To‘plamni 3 ta xossaga ko‘ra sinflarga ajratishni qaraymiz.
A to‘plam va xossalar berilgan bo‘lsin. to‘plam xossalarga ega bo‘lishi ham bo‘lmasligi ham mumkin. Bu uchta xossa to‘plamni sakkizta sinfga ajratishi mumkin.

a) xossaga ega bo‘lgan va xossalarga ega bo‘lmagan to‘plam – 1 sinf;

b) va xossalarga ega bo‘lgan va xossaga ega bo‘lmagan to‘plam – 2 sinf;

v) xossaga ega bo‘lgan va xossalarga ega bo‘lmagan to‘plam – 3 sinf;

g) xossalarga ega bo‘lgan va xossaga ega bo‘lmagan to‘plam – 4 sinf;

d) xossaga ega bo‘lgan va xossalarga ega bo‘lmagan to‘plam – 5 sinf;

e) xossalarga ega bo‘lgan va xossaga ega bo‘lmagan to‘plam – 6 sinf;

j) va xossalarga ega bo‘lgan to‘plam – 7 sinf;

z) va xossalarga ega bo‘lmagan to‘plam – 8 sinf.



11-chizma

Bu sinflardan ayrimlari bo‘sh to‘plam ham bo‘lishi mumkin. Bu 8 ta sinf 11-chizmada tasvirlangan.
Muhokama uchun e’tiborni jamlovchi va muammoli savollar

1. 
   To‘plamlarni sinflarga ajratishni ta’riflang.
   
2. 
   To‘plamlarni sinflarga ajratishga misollar keltiring.
   
3. 
   To‘plamlarni bitta, ikkita, uchta xossaga ko‘ra sinflarga ajrating.
   
4. 
   Ajratishni misollar yordamida va Eyler -Venn diagrammasi orqali tushuntirib bering.
   

F

oydalaniladigan asosiy adabiyotlar ro‘yxati

Asosiy adabiyotlar

1. 
   Xamedova N.A, Ibragimova Z, Tasetov T. Matеmatika. Darslik. T.: Turon-iqbol, 2007. 363b.
   
2. 
   Н.А.Хамедова, А.В.Садыкова, И.Ш.Лактаева. Maтемaтикa. Учебное пособие. Т.: Жахон-принт, 2007.(13-15 betlar)
   

Qo‘shimchaadabiyotlar

1. 
   Abdullayeva B.S., Sadikova A.V., Muxitdinova M.N., Toshpo‘latova M.I., Raximova F. Matematika. TDPU. (Boshlang‘ich ta’lim va sport-tarbiyaviy ish bakalavriyat ta’lim yo‘nalishi talabalari uchun darslik) Toshkent-2012, 284 (13-17 bet)
   
2. 
   David SurovskiAdvanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. (193-bet )
   

1^David SurovskiAdvanсed High-School Mathematics. 2011. 425s., 193 bet

2^David SurovskiAdvanсed High-School Mathematics. 2011. 425s., 193 bet

3^Herbert Gintis , Mathematical Literacy for Humanists, p.p11-12,14-15

4^David SurovskiAdvanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. 192 -bet

5^David SurovskiAdvanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. 195 -bet

6^ Herbert Gintis , Mathematical Literacy for Humanists, p.p19-22, 27

7^ Herbert Gintis , Mathematical Literacy for Humanists, p.p19-22, 27