Ma’ruza 15. Kompleks sonlarning geometrik va trigonometrik shakli. Muavr formulasi

MA’RUZA 16.
KOMPLEKS SONNING ILDIZLARI. BIRNING ILDIZLARI

va natural son uchun , qanoatlantirsa, kompleks son sonning darajali ildizlari deyiladi.

Bizga noldan farqli kompleks son va uning trigonometrik berilgan bo’lsin.
Teorema 16.1. Kompleks son turli darajali ildizga ega bo’lib, ular quyidagi ko’rinishda ifodalanadi:
. (1)
Isbot. bo’lib, trigonometrik ifoda ko’rinishida izlaymiz. Muavr formulasiga asosan
.
Bundan , . Bu tengliklardan ni olamiz. Demak, ning har bir -darajali ildizi ushbu ko’rinishga

keladi. Aksincha bunday ko’rinishga ega bo’lgan har qanday kompleks son ning darajali ildizidir. Endi ga 0, 1, 2, ..., qiymatlar berib, larni topamiz, bularning hammasi turlicha bo’ladi, chunki ni bittaga orttirish argumentning ga ortishiga keladi. Endi bo’lgan holni ko’ramiz. ni ga bo’lsak,

bo’lib,

va demak

bo’ladi, ya’ni larning biriga teng bo’ladi.
Misol.

hosil bo’ladi. Bu yerdan

turli ildizlari bo’ladi.
Shuni ta’kidlaymizki, ushbu teoremadan va Muavr formulasidan foydalangan holda kompleks sonning darajasini yoki umuman darajasini hisoblashimiz mumkin. Masalan, ning darajasini hisoblash uchun, uni avval darajaga ko’tarib, so’ngra darajali ildizlarini topamiz.
Endi bir sonning darajali ildizlari ustida to’xtaymiz. Agar deb olsak, u holda 1 ning darajali ildizlari

bo’ladi va birning barcha darajali ildizlari soni ta kompleks sonlar to’plamidan iboratdir, uni kabi belgilab olamiz.
Teorema 16.2. Birning barcha ildizlari ko’paytirish amaliga nisbatan gruppa tashkil etadi.
Isbot. Haqiqatan, agar bo’lsa, ya’ni bo’ladi va demak

bo’lib, . Bu amal assosiativ va dir. Endi ning teskari bo’lsa, bo’ladi.
Muavr formulasiga asosan va demak gruppa darajalari orqali ifodalanadi va shunga asosan deb olishimiz mumkin.
Birorta elementning darajalaridan tuzilgan gruppaga siklik yoki bir yasovchili gruppa deyiladi. Bu ta’rifga asosan birning darajali ildizlari gruppasi siklik gruppa tashkil etadi.
Birning darajali ildizi ga boshlang’ich ildiz deyiladi, agar bo’lsa va demak gruppadan ta boshlang’ich ildizlar mavjud. Boshlang’ich ildizlar siklik gruppaning yasovchilari bo’ladi (ko’rsating!) va demak tub son bo’lsa, larning hamma boshlang’ich ildizlari bo’lib, gruppaning yasovchilari ham bo’ladi.
Misol. .

lar uchinchi tartibli siklik gruppaning boshlang’ich ildizidir.