Ma’ruza-14. Aniq integralning tatbiqlari

1-misol. Berilgan funksiya grafigi, koordinata chizig‘i va toʻg‘ri chiziqlar bilan chegaralangan shaklning yuzini hisoblang.

Yechish. Avval berilgan chiziqlar bilan chegaralangan yassi shaklni yasaymiz

(1-chizma).Izlanayotgan yuza yoki dan iborat,

. ◄
Umumiy holda, agar yassi shakl ikkita , funksiyalar grafiklari va vertikal chiziqlar bilan chegaralangan boʻlib, boʻlsa, bu yassi figura yuzi

(1)

formula bilan hisoblanadi.

Agar egri chiziqli trapetsiyaning chegarasidagi egri chiziq parametrik tenglamalar bilan berilsa, u holda bu yassi shakl yuzi

(2)

formula bilan hisoblanadi. Bu yerda va chegara tenglamalardan aniqlanadi.

2-misol. Ellips chizig‘i bilan chegaralangan shakl yuzuni toping.

Yechish. Avval ellipsning parametrik tenglamasini yozamiz:

.

Shaklning simmetrikligini va (2) formulani e’tiborga olib quyidagini hosil qilamiz:

.

Egri chiziq qutb koordinatalar sistemasidagi tenglama bilan berilgan boʻlsin. Agar yassi shakl tenglama bilan berilgan egri chiziq va qutb burchaklariga mos keluvchi , qutb radiuslari bilan chegaralangan egri chiziqli sektor boʻlsa, uning yuzi

(3)

formula bilan hisoblanadi.

3-misol. Qutb kооrdinаtаsidа bеrilgаn chiziq bilаn chеgаrаlаngаn shakl yuzini hisоblаng: .