Malar Bizga ni ga akslantiruvchi operator berilgan bo‘lsin uning aniqlanish sohasi, esa uning qiymatlar sohasi bo‘lsin. 1-ta’rif

6. 5-misolda qaralgan ga ko‘paytirish operatori , 4-teorema shartlarini qanoatlantiradimi?
Yechish. Ma’lumki, - chiziqli operator. operator uchun 4-teoremaning (9) sharti bajarilmasligini ko‘rsatamiz. Buning uchun fazoda har bir elementining normasi 1 bo‘lgan

ketma-ketlikni qaraymiz. Endi normani hisoblaymiz:
.
Istalgan son uchun shunday natural son mavjudki, tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bu yerdan kelib chiqadiki,
.
Demak, operator uchun (9) tengsizlikni qanoatlantiruvchi son mavjud emas. 5-misolda ko‘rsatildiki, ga teskari operator mavjud, lekin 4-teoremaning sharti bajarilmaganligi uchun, ga teskari operator chegaralanmagan bo‘ladi. ∆
7. Endi Hilbert fazosini o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi

operatorni qaraymiz. operator 4-teorema shartlarini qanoatlantiradimi? ga chegaralangan teskari operator mavjudmi?
Yechish. operatorning chiziqli ekanligi oson tekshiriladi. Endi operator uchun 4-teoremaning (9) sharti bajarilishini ko‘rsatamiz. Buning uchun normani quyidan baholaymiz.
.
Biz bu yerda tengsizlikdan hamda integralning monotonlik xossalaridan foydalandik. So‘nggi tengsizlikdan tengsizlik kelib chiqadi. Bu yerda son sifatida dagi ixtiyoriy sonni olish mumkin. 4-teorema tasdig‘idan foydalansak, ga chegaralangan teskari operator mavjudligi hamda tengsizlik kelib chiqadi. Aslida tenglik o‘rinli. ∆
5-teorema. - Banax fazosi va . Agar bo‘lsa, u holda operator uchun chegaralangan teskari operator mavjud.
Isbot. fazoda quyidagi formal qatorni qaraymiz:
. (10)
Ma’lumki, . Xuddi shuningdek, . U holda (10) qatorning

qismiy yig‘indilari ketma-ketligi Koshi shartini qanoatlantiradi, ya’ni
.
(10) qatorning qismiy yig‘indilari ketma-ketligi - fundamental ekan, to‘la bo‘lgani (1-teoremaga qarang) uchun
.
Shunday qilib,
.
Bundan tashqari

Xuddi shunday ko‘rsatish mumkinki, . Demak, operator operator uchun teskari operator ekan. operatorning normasi
.
Demak, operator chegaralangan va uning normasi

tengsizlikni qanoatlantiradi. ∆
1-natija. - Banax fazosi va bo‘lib, bo‘lsa, u holda operator uchun chegaralangan teskari operator mavjud.
Natijaning isboti 5-teoremadan kelib chiqadi va
.
2-lemma. Agar bo‘lib, bo‘lsa, u holda
operatorga chegaralangan teskari operator mavjud va tenglik o‘rinli.
Lemmaning isboti tengliklardan hamda 2-tasdiqdan kelib chiqadi.
6-teorema. operatorga chegaralangan teskari operator mavjud bo‘lsin. Agar operatorning normasi

tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda operatorga chegaralangan teskari operator mavjud.
Isbot. operatorni quyidagicha yozib olamiz: . Endi operatorning normasini baholaymiz:
.
5-teoremaga ko‘ra, operatorga chegaralangan teskari operator mavjud. U holda 2-lemmaga ko‘ra, operator ham teskarilanuvchan bo‘ladi, hamda

munosabatlar o‘rinli. ∆