Malar Bizga ni ga akslantiruvchi operator berilgan bo‘lsin uning aniqlanish sohasi, esa uning qiymatlar sohasi bo‘lsin. 1-ta’rif

2-teoremaning isboti. biyektiv akslantirish bo‘lganligi uchun operator mavjud va . Endi fazoda
,
to‘plamlarni qaraymiz. fazoning ixtiyoriy elementi to‘plamlarning birortasida yotadi. Shuning uchun
.
Ber teoremasiga ko‘ra, to‘plamlarning birortasi qandaydir sharda zich bo‘ladi. Faraz qilaylik, to‘plam sharda zich bo‘lsin. shar ichida sharsimon qatlam olamiz, ya’ni

qatlamni markazi nolda bo‘ladigan qilib parallel ko‘chiramiz va

sharsimon qatlamga ega bo‘lamiz. Birorta uchun to‘plam da zich bo‘lishini ko‘rsatamiz. Agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi. Bundan tashqari


. (5)
Ma’lumki, miqdor ga bog‘liq emas va biz

deb olamiz. U holda (5) ga ko‘ra, bo‘ladi. to‘plamning qatlamda zich ekanligidan to‘plamning qatlamda zich ekanligi kelib chiqadi. Endi dan ixtiyoriy nolmas element olamiz. Shunday son mavjudki, tengsizlik o‘rinli, ya’ni bo‘ladi. to‘plam qatlamda zich bo‘lgani uchun ga yaqinlashuvchi ketma-ketlik qurish mumkin. U holda . Ravshanki, bo‘lsa, u holda ixtiyoriy uchun bo‘ladi. Shunday qilib, to‘plam da zich va demak, ning o‘zida ham zich.
Endi ixtiyoriy nolmas elementni olamiz va 14.1-lemmaga ko‘ra to‘plamning elementlari orqali qatorga yoyamiz:

fazoda elementlardan tuzilgan qatorni qaraymiz:
(6)
Bu qator qandaydir elementga yaqinlashadi, chunki

va
.
(6) qatorning yaqinlashuvchiligidan va ning uzluksizligidan

Bu yerdan ekanligi kelib chiqadi. Bundan tashqari
.
Bu yerdan

tengsizlik kelib chiqadi. Shunday qilib, operatorning chegaralangan ekanligi isbotlandi. ∆
Berilgan operatorga teskari operatorning mavjudligini ko‘rsatish birmuncha osonroq, lekin teskari operatorni topish masalasi murakkab masaladir. Shuning uchun teskari operatorni topishni soddaroq holdan, ya’ni qaralayotgan fazo o‘lchami chekli bo‘lgan holdan boshlaymiz.